8 чисел по кругу

[Tookser]

По кругу стоят числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (в указанном порядке). Можно взять любые два соседних числа и записать на их места среднее арифметическое этих чисел. Можно ли, повторив много раз эту операцию, получить 8 одинаковых чисел? (из книги "Как решать нестандартные задачи", А.Я.Канель-Белов и А.К.Ковальджи)

(Оффтоп)

Задача для 8 класса. Никак не могу решить, хотя почему-то кажется, что можно доказать, что на месте числа "2" всегда будет число <4.5 (среднеарифметического всех чисел).

[Rasool]

Помню, что можно применить инварианты. Т.е. подобрать такое свойство, которое не меняется при применении указанной операции.

[TelmanStud]

Цитата:

Задача для 8 класса. Никак не могу решить, хотя почему-то кажется, что можно доказать, что на месте числа "2" всегда будет число <4.5 (среднеарифметического всех чисел).

это доказать не очень просто... потому что в пределе сделать равными их возможно..

[Tookser]

Пока из результатов только две более-менее значимые вещи:
1) Доказал, что число шагов будет четным (если можно сделать все числа равными). Просто берутся три дополнительных величины (вроде инвариантов):
количество чисел $<4.5$
количество чисел $>4.5$
количество чисел $=4.5$
и рассматриваются возможные преобразования этих величин при использовании исходной операции, а также их значения в конечном состоянии.

2) Мне кажется, что среднеарифметическое чисел на первых четырех местах (вначале "1 2 3 4") после преобразований будет в любом случае меньше, чем 4.5. Пытаюсь это доказать...

[Tookser]

Похоже, решил.

(Решение)

Будем заменять каждое число $\leq 4.5$ на букву $L$, а числа $> 4.5$ на $H$.
Вначале будем иметь такую позицию:
$L L L L H H H H$
Каждая операция будет менять либо
$L\toH$, где L соседнее с H
либо
$H\toL$ где H соседнее с L.

Допустим, у нас есть искомая последовательность шагов. Тогда рано или поздно будет 4 таких шага, когда два строго неравных друг другу числа станут равными, и далее их уже не нужно будет трогать. Вообще, эти шаги можно сделать в самом конце.
Теперь нам необходимо получить последовательность
$(L,H|H,L)+(L,H|H,L)+(L,H|H,L)+(L,H|H,L)$,
возможно, с циклическим сдвигом вправо на один символ.
Теперь заметим, что в указанной последовательности в любом случае символы $H$ будут идти не подряд. Однако исходя из начального положения и операции, мы сможем получить только такие строки, в которых $H$-ки идут подряд. Противоречие.

Значит, сделать все числа равными нельзя.

[Tookser]

(Исправление решения)

Будем заменять каждое число $< 4.5$ на букву $L$, а числа $> 4.5$ на $H$ (везде строгое неравенство). (L,H) - стоящие подряд L и H.
Вначале будем иметь такую позицию:
$L L L L H H H H$
Каждая операция делать одно из следующих преобразований:
$L\toH$, где L соседнее с H
$H\toL$ где H соседнее с L.
$(L, H) \to (4.5, 4.5)$
$(H, L) \to (4.5, 4.5)$
$(4.5, L) \to (L, L)$
$(4.5, H) \to (H, H)$
$(L, 4.5) \to (L, L)$
$(H, 4.5) \to (H, H)$

Таким образом, кольцо всегда будет выглядеть так: L..L (граница) H..H (граница). Граница - это либо ничего, либо 4.5, либо (4.5, 4.5).

Максимальное количество "4.5" - четыре штуки, а их требуется 8. Значит, нельзя сделать все числа равными.

В прошлом ошибка: я посчитал, что числа будут становиться равными 4.5 обязательно попарно, и над ними обоими больше не будет производиться никаких действий.

[arseniiv]

Tookser в сообщении #748088 писал(а):

$(L, H) \to (4.5, 4.5)$
$(H, L) \to (4.5, 4.5)$

$(5, 6) \to (5.5, 5.5)$, а потом $(L, H) \sim (4, 5.5) \to (4.75, 4.75) \sim (H, H) \not\sim (4.5, 4.5)$.

$\sim$ — эквивалентность по вашему определению.

[Tookser]

HL может переходить как в $HH$, так и в $LL$ или $4.5 \ 4.5$

Tookser в сообщении #748088 писал(а):

$L\toH$, где L соседнее с H
$H\toL$ где H соседнее с L.

т.е. еще и
$(L,H)\to(H,H)$
$(H,L)\to(H,H)$
$(L,H)\to(L,L)$
$(H,L)\to(L,L)$.

[arseniiv]

А, извините, не понял, что те две строки тоже были о превращениях.