Равенство с антье и коэффициентами

[Keter]

Доказать, что существуют такие коэффициенты $m, n \in \mathbb{R}_{+},$ что для всех $x \in \mathbb{R}_{+}$ выполняется равенство

$$m[x^2]+\Big[ m \{ x^2 \} \Big]+\Big[ n \{ x \} \Big]=m[x]^2.$$

[Sonic86]

А точно существуют?
А то возьмем $x=\sqrt{2}$. Получаем $[x^2]=2, \{x^2\}=0$ и $2m+0+\{n(\sqrt{2}-1)\}=m$, что невозможно при $m,n>0$

[ddn]

Keter в сообщении #746679 писал(а):

Доказать, что существуют такие коэффициенты $m, n \in \mathbb{R}_{+},$ что для всех $x \in \mathbb{R}_{+}$ выполняется равенство
$m[x^2]+\Big[ m \{ x^2 \} \Big]+\Big[ n \{ x \} \Big]=m[x]^2.$

Перепишем равенство
$\Big[ m \{ x^2 \} \Big]+\Big[ n \{ x \} \Big]=m([x]^2-[x^2])$
Поскольку $\Big[ m \{ x^2 \} \Big]\ge 0, $\Big[ n \{ x \} \Big]\ge 0 и $m\ge 0$, $[x]^2-[x^2]\le 0$
то равенство возможно, если
$\Big[ m \{ x^2 \} \Big]=0$, $\Big[ n \{ x \} \Big]=0$ и $m([x]^2-[x^2])=0$
Так как при $x\in (\sqrt(2), 2)$ все таки $[x]^2-[x^2]<0$, то $m=0$
Так как $0\le \{ x \} <1$, то $0\le n\le 1$
Случай $m, n>0$ невозможен.

-- Ср июл 17, 2013 08:16:28 --

Может разумно переставить местами члены $m[x^2]$ и $m[x]^2$?

Тогда, при $x\in (0,1]$ имеем $[x^2]-[x]^2=0$ и величины $\{ x \}$ и $\{ x^2 \}$ пробегают значения $[0, 1)$.
Значит опять $\Big[ m \{ x^2 \} \Big]=0$ и $\Big[ n \{ x \} \Big]=0$, откуда $0\le m\le 1$ и $0\le n\le 1$.

Но тогда при всех $x$ будет $\Big[ m \{ x^2 \} \Big]=0$ и $\Big[ n \{ x \} \Big]=0$. Тогда опять выходит $m=\frac{\Big[ m \{ x^2 \} \Big]+\Big[ n \{ x \} \Big]}{[x^2]-[x]^2}=0$

[Keter]

Получается, что действительно не существуют. Я не поверил, кинул на форум. Такой бред... Может в задаче опечатка. Так перепроверил -- вроде нет. Спасибо, что помогли убедиться в этом.

[Keter]

Есть еще задача:

Найдутся ли коэффициенты $m, n, r \in \mathbb{R}_{+}$ такие, что для всех $x \in \mathbb{R}_{+}$ справедливо равенство

$$\Big[m\{x^2\}\Big]+\Big[m[x^2]\Big]+\Big[n\{x\}\Big]+\Big[n[x]\Big]=m[x]^2+n[x]+\{r\}$$