Объем тела

[Terraniux]

Докажите, что объем тела не больше корня из произведений трех его проекций.

[Sonic86]

Возьмем тело $D$ объема $V$ в $\mathbb{R}^3$, площади его проекций на $Ox_ix_j$ обозначим $S_k$, где $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$. Тогда тело $D_2=D\times D$ в $\mathbb{R}^6$ имеет объем $V^2$. Спроецируем $D_2$ на $Ox_1x_2, Ox_3x_4, Ox_5x_6$, площади полученных проекций $P_3, P_2, P_1$ равны $S_3, S_2, S_1$ соответственно. Возьмем $T=P_3\times P_2\times P_1$ (здесь $P_I$ беру не как подмножества $\mathbb{R}^6$, а как подмножества $\mathbb{R}^2$ - выкидываем 4 нулевых компоненты у каждой проекции и перемножаем (если непонятно - могу ввести обозначение)). Ясно, что $D_2\subseteq T$. Значит $V^2=V(D_2)\leqslant V(T)=S_1S_2S_3$ (здесь $V(X)$ - объем $X$ в $\mathbb{R}^6$).
Утверждение обобщается очевидным образом.

[Sonic86]

Верещагин, Шень Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность писал(а):

Комбинаторный смысл утверждений о сложности. Мы приведём один пример такого рода (подробнее см. главу 10, с. 348). Существует неравенство для [колмогоровских] сложностей трёх слов и их комбинаций:

$$2KS(xyz)\leqslant KS(xy)+KS(xz)+KS(yz)+O(\log n)$$

для любых трёх слов $x,y,z$ длины не больше $n$.
Оказывается, что это неравенство имеет естественные интерпретации, в которых
о сложности уже ничего не говорится. В частности, из него можно вывести такой
геометрический факт [51].
Пусть имеется тело в трёхмерном пространстве с перпендикулярными осями $OX, OY$ и $OZ$, имеющее объём $V$. Рассмотрим три его ортогональные проекции на плоскости $OXY, OXZ$, и $OYZ$. Пусть $S_{xy}, S_{xz}$ и $S_{yz}$ - площади этих проекций. Тогда имеет место такое неравенство:

$$V^2\leqslant S_{xy}\cdot S_{xz}\cdot S_{yz}$$

...
$\boxed{229}$ Докажите аналогичное неравенство для любого числа случайных величин:

$$H(\alpha_1,...,\alpha_n)\leqslant H(\alpha_2,...,\alpha_n)+...+H(\alpha_1,...,\alpha_{n-1})$$

(В правой части неравенства складываются энтропии кортежей, состоящих из всех случайных величин, кроме одной.)
...
$\boxed{231}$ Покажите, что из неравенства задачи 229 следует оценка для объёма $n$-мерного тела через объемы его $n-1$-мерных проекций (обобщение неравенства,
упомянутого на с. 21): объем тела, возведенный в $n-1$-ю степень, не превышает произведения $n-1$-мерных объемов его проекций на координатные гиперплоскости. [Указание. Сначала докажите неравенство для тел, составленных из единичных кубиков. Для этого рассмотрите случайную величину, равномерно распределенную среди кубиков, составляющих тело. Для общего случая надо перейти к пределу, разбивая тело на кубики.]
Это неравенство является частным случаем более общего геометрического неравенства Лумиса Уитни [85].