нетривиальная задача из области неравенств с интегралами

[svhr]

Исходные данные
Есть положительная функция $g(x)$, $x \in R^n$, которая непрерывно-дифференцируема по крайней мере дважды на всей области определения.

Известно, что $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{g^{n-1}(r)} dr < +\infty$.

Нужно исследовать возможность доказательства или опровержения следующего факта.

Для достаточно больших $\rho > 0$ и $\lambda > 0$ должно выполняться следующее неравенство:

$\int\limits_{\rho/4}^{\rho/2} g^{n-1}(r)dr + \int\limits_{\rho}^{2\rho} g^{n-1}(r)dr \geq $

$ \geq \int\limits_{\rho/4}^{\rho/2} g^{n-1}(r) (\frac{4r}{\rho} - 1)^{\lambda} dr + \int\limits_{\rho/2}^{\rho} g^{n-1}(r) dr +$

$+ $\int\limits_{\rho}^{2 \rho} g^{n-1}(r) (2 - \frac{r}{\rho})^{\lambda} dr$

Если существуют примеры функции g, когда это верно и когда нет, то как бы максимально точно дополнить условие задачи, чтобы это выполнялось всегда?

-- 13.07.2013, 16:23 --

Можно попытаться разобраться с более простым неравенством (как я уже доказал, из него будет следовать первое)

Для достаточно больших $\rho > 0$ выполнено:

$ \int\limits_{\rho/2}^{\rho} g^{n-1}(r)dr < \int\limits_{\rho/4}^{\rho/2} g^{n-1}(r) dr + \int\limits_{\rho}^{2\rho} g^{n-1}(r) dr.$

[Vince Diesel]

Что такое $g^{n-1}(r)$? Ведь $g$ определена как функция $n$ аргументов.

[svhr]

Я дико извиняюсь. Это обычная опечатка. В исходных данных правильно так: дана положительная $g(r)$, $r \in R_+ = (0, +\infty)$. В свою очередь, $n$ везде далее следует понимать как фиксированное натуральное число.

На самом деле задача вылезла из исследования некоторых эллиптических уравнений на римановых многообразиях размерности $n$ - изометричных прямому произведению положительной полуоси на некоторый компакт ("радиально симметричных").

[Vince Diesel]

Cтепень $n-1$ тут везде присутсвует, так что ее можно опускать.
Гладкость тоже кажется не очень существенной.

Для выполнения последнего неравенства необходимо что-то дополнительное. Напрашивается монотонность. А то левая часть может быть больше правой. Например, разобьем полуось на полуинтервалы $I_n=[2^n,2^{n+1})$. Тогда неравенство оценивает, в частности, значение интеграла на промежутке $I_n$ через соседние. Если $g$ "имеет всплески" на нечетных интервалах, то для них неравенство может быть не выполнено.