Проверка неравенств Белла

[nkie]

Отделено от темы «Квантовая механик» / GAA, 15.07.2013

Кстати, господа форумчане, маленький вопрос по поднятой теме проверки неравенств Белла Аленом Аспеком описанной например в следующем документе. На 6-й странице господин Аспек пишет, что квантовая механика предсказывает следующие вероятности Р ± ± ( а, B ) совместного обнаружения v1 и v2 в каналах + или – поляризаторов I или II с направлениями a и b:
$P_{++}(a,b)=P_{--}(a,b)=\frac {1} {2}\cos^2(a,b)$
$P_{+-}(a,b)=P_{-+}(a,b)=\frac {1} {2}\sin^2(a,b)$
Вопрос в следующем, каким образом получены эти формулы? Кто-нибудь может дать ссылку на какую-нибудь публикацию, где приводится полный вывод этих выражений? Или прям тут напишите, если не сложно.
И еще небольшое уточнение. Правильно ли я понимаю мысль Белла, что наличие неопределенности в результатах эксперимента должно исключать наличие скрытых параметров, а наличие скрытых параметров, в свою очередь, исключает неопределенность?
Заранее спасибо.

[Munin]

nkie в сообщении #738627 писал(а):

Кстати, господа форумчане, маленький вопрос по поднятой теме проверки неравенств Белла Аленом Аспеком описанной например в следующем документе.

Во-первых, остерегайтесь сайта chronos.msu.ru. Во-вторых, этот "документ" выглядит как написанный в Ворде, и большого доверия к качеству перевода не вызывает. Старайтесь найти оригинал, и ключевые места сравнивайте с оригиналом. Если найдёте смысловые отличия (пусть даже в виде неясного перевода), читайте в первую очередь оригинал (а перевод смотрите только в случае непонимания формулировок оригинала, как вариант прочтения).

Сами формулы получаются очень просто. Рассмотрим первый фотон. Он может быть в состояниях $|x\rangle$ и $|y\rangle,$ а его поляризатор имеет ориентацию $\mathbf{a}.$ Для чистых состояний мы имеем:

$$|x\rangle\quad\mapsto\quad P_+(\mathbf{a})=\cos^2(\mathbf{a}),\quad P_-(\mathbf{a})=\sin^2(\mathbf{a})$$

$$|y\rangle\quad\mapsto\quad P_+(\mathbf{a})=\sin^2(\mathbf{a}),\quad P_-(\mathbf{a})=\cos^2(\mathbf{a})$$

(можно взять это из законов оптики, а можно счесть по квантовой механике, что проекции амплитуд на направление $\mathbf{a}$ равны $\sin(\mathbf{a})$ и $\cos(\mathbf{a}),$ а вероятности, соответственно, - квадраты). Тогда для суперпозиции $\xi|x\rangle+\eta|y\rangle$ будет

$$\xi|x\rangle+\eta|y\rangle\quad\mapsto\quad P_+(\mathbf{a})=|\xi|^2\cos^2(\mathbf{a})+|\eta|^2\sin^2(\mathbf{a}),\quad P_-(\mathbf{a})=|\xi|^2\sin^2(\mathbf{a})+|\eta|^2\cos^2(\mathbf{a})$$

Всё аналогично - для второго фотона и второго поляризатора $\mathbf{b}.$ Теперь перейдём к рассматриваемой функции $|\Psi(\nu_1,\nu_2)\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2\,}\,}\bigl\{|x,x\rangle+|y,y\rangle\bigr\}.$ Отдельные вероятности $P_\pm(\mathbf{a})$ и $P_\pm(\mathbf{b})$ будут рассчитаны так же, и дадут те самые $1/2.$ А вот совместные вероятности будут вычисляться через амплитуды совместных результатов измерений: для $|x,x\rangle$ амплитуда измерения $++$ будет равна $\cos(\mathbf{a})\cos(\mathbf{b}),$ и вероятность - будет суммой квадратов модулей амплитуд:

$$P_{++}(\mathbf{a},\mathbf{b})=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2\,}\,}\cos(\mathbf{a})\cos(\mathbf{b})+\tfrac{1}{\sqrt{2\,}\,}\sin(\mathbf{a})\sin(\mathbf{b})\bigr)^2=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\mathbf{a},\mathbf{b})\bigr)^2,$$

где $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ в обозначениях из статьи - это разность углов направлений $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ (а не скалярное произведение векторов, как можно было бы подумать). Всё остальное - совершенно аналогично.

-- 20.06.2013 11:46:03 --

nkie в сообщении #738627 писал(а):

И еще небольшое уточнение. Правильно ли я понимаю мысль Белла, что наличие неопределенности в результатах эксперимента должно исключать наличие скрытых параметров, а наличие скрытых параметров, в свою очередь, исключает неопределенность?

Нет, наоборот, наличие слишком хорошей корреляции в результате эксперимента исключает наличие скрытых параметров, а наличие скрытых параметров, в свою очередь, исключает слишком хорошую корреляцию. В каком смысле "слишком хорошую" - формально записано через функцию $S(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}',\mathbf{b}'),$ а наглядно можно показать через рис. 3, как "превышение" пунктирной линии над сплошной. Никакая теория со скрытыми параметрами не может дать пунктирную линию нужной формы: всегда, если она будет приближаться к пунктирной в одном месте, она будет отдаляться от неё в другом. $S(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}',\mathbf{b}'),$ по сути, измеряет этот график в четырёх точках, три из которых могут быть выбраны произвольно, а четвёртая однозначно определяется первыми тремя.

[nkie]

Munin в сообщении #738658 писал(а):

$P_-(\mathbf{a})=\cos^2(\mathbf{a})$$ (можно взять это из законов оптики, а можно счесть по квантовой механике, что проекции амплитуд на направление $\mathbf{a}$ равны $\sin(\mathbf{a})$ и $\cos(\mathbf{a}),$ а вероятности, соответственно, - квадраты).

Самое интересное то я и не понял. Откуда взялись sin и cos?
Просто один момент меня смущает. Господин Ален Аспек берет для своей эталонной теории со скрытым параметром совсем уж упрощенную математическую модель поляризатора (формула 14).
$A(\lambda,a)=sign[cos2(\theta-\lambda)]$
И если представить вероятность прохождения через такой поляризатор фотона, то она будет представлять меандр c ровными фронтами на углах $ \frac {Pi} {4}+\frac {Pi} {2}$. Но все мы знаем как работает настоящий поляризатор, который можно описать законом Малюса:
$I=I_0*cos^2(\theta-\lambda)$
Только применительно к одиночному фотону эта формула будет выражать не интенсивность светового потока, а вероятность фотона пройти через поляризатор в зависимости от разности углов между плоскостями поляризации фотона и поляризатора Т.е. если поляризация фотона строго параллельна направлению поляризатора, то вероятность пройти: $cos^2(0)=1$, если угол составляет 45 градусов, то вероятность : $cos^2(45)=0.5$, если 90, то $cos^2(90)=0$. График вероятности будет уже не меандр, а $cos^2{(x)}$.
Соответственно и формулы вероятностей P+ и P_ будут практически такие же как и в квантовой механике, вами выше описанные
$P+=\cos^2(\theta-\lambda)$
$P-=\sin^2(\theta-\lambda)$
Правда выразить итоговый корреляционный коэффициент у меня мозгов не хватает, но, судя по тому, что используются такие же исходные формулы, то и результат должен получиться аналогичный.

[Munin]

nkie в сообщении #739000 писал(а):

Правда выразить итоговый корреляционный коэффициент у меня мозгов не хватает

А вы постарайтесь. Сначала найдите вероятности $P_{\pm\pm},$ а потом по формуле (5).

[nkie]

Прошу прощения за перерыв. Выкроил немного времени и решил все-таки добить эту тему.
В связи с этим возник небольшой вопросик.
Вероятность для первого фотона пройти через первый поляризатор:
$P_{1+}=\cos^2(\theta_1-\lambda_1)$
Для второго соответственно:
$P_{2+}=\cos^2(\theta_2-\lambda_2)$
Где $\theta$ - угол, на который повернут поляризатор, а $\lambda$ - угол наклона плоскости поляризации фотона. Тогда вероятность того что оба фотона пройдут через поляризаторы:
$P_{++}=P_{1+}\cdot P_{2+}=\cos^2(\theta_1-\lambda_1)\cdot\cos^2(\theta_2-\lambda_2)$
Ну и по аналогии:
$P_{--}=\sin^2(\theta_1-\lambda_1)\cdot\sin^2(\theta_2-\lambda_2)$
$P_{+-}=\cos^2(\theta_1-\lambda_1)\cdot\sin^2(\theta_2-\lambda_2)$
$P_{-+}=\sin^2(\theta_1-\lambda_1)\cdot\cos^2(\theta_2-\lambda_2)$
Далее долго и упорно с помощью тригонометрических преобразований упрощаем эти конструкции. Вопрос в следующем. Что собственно делать в этом случае с углами $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Учитывая что фотоны у нас скорелированные, то: $\lambda_2=\lambda_1+\pi/2$. А вот дальше как то не очень понятно. Чисто интуитивно я рассуждаю так. Для каждого угла $\theta$ необходимо набрать как можно большую статистику (как в своих опытах делал Алан Аспек). Т.е. по сути для каждого $\theta$ угол $\lambda$ должен принять все возможные значения на интервале $0...2\pi$. Судя по всему необходимо проинтегрировать:
$\int_{0}^{2\pi}{P_{++}(\theta_1,\theta_2,\lambda_1)d\lambda_1}$ и аналогично остальные вероятности.
Правильно я понимаю?

[Munin]

Да. Правда, поскольку фотоны симметричные, можно интегрировать по $[0,\pi)$ :-)

[nkie]

Ошибочка в предыдущем комментарии. Должно быть конечно же $\lambda_2=\lambda_1+\pi$
Да уж, чуда не произошло

Красная линия - предсказания квантоваой механики. Синяя - соответсвенно по рассчитанным выше формулам. Т.е. моя модель со скрытыми параметрами тоже дает не согласующийся с экспериментом результат. Ровно в 2 раза меньше.
Исходники в wxMaxima.
Неравенства Белла устояли

[Munin]

Я рад, что вы самостоятельно добрались до такого результата! И признали его :-)