проверить:задача на валютный курс и вторая задача на выручку

[Scholnik]

1)В прошлом году покупательная способность доллара в США была в 2 раза меньше покупательной способности доллара в России.
В этом году цены в США выросли на 20%, а в России цены выросли на 50%.
Рассчитайте, как и на сколько процентов должен измениться обменный курс доллара, чтобы произошло выравнивание покупательной способности доллара в США и в России, т.е. чтобы обменный курс доллара установился бы на уровне паритета покупательной способности валют.
Мое решение:
Обозначим индексом $0$ прошлый год,индексом $1$-нынешний год,$X$-уровень цен в США,$Y$-уровень цен в России,$e$-прямой номинальный валютный курс доллара (рублей за доллар),$E$- реальный валютный курс доллара
Прошлый год:1 доллар в России-это $e_0$ рублей,значит,исходя из условия о покуательной способности:$\frac{1}{X_0}*2=\frac{e_0}{Y_0};e_0=\frac{2Y_0}{X_0}$
Нынешний год:для того,чтобы выполнялось условие паритета покупательной способности(ППС),необходимо,чтобы реальный курс доллара стал равен 1,то есть $E_1=1$
$E_1=e_1*\frac{X_1}{Y_1}=e_1*\frac{1,2X_0}{1,5Y_0}=1;e_1=\frac{1,25Y_0}{X_0}$
Значит,курс доллара изменился на $\frac{e_1-e_0}{e_0}*100\%=\frac{\frac{1,25Y_0}{X_0}-\frac{2Y_0}{X_0}}{\frac{2Y_0}{X_0}}*100\%=-37,75\%$
Ответ:валютный курс доллара должен снизиться на $37,75\%$
2)В некоторой стране спрос на товар выражается функцией $P=e^{\frac{1}{Q}}$,где $e$-число Эйлера$(e=2,71...)$.Найдите максимум выручки,если технология производства такова,что $Q\ge 0,5;Q\le 2$;
Мое решение:
$MR(Q)=TR'(Q)=(P(Q)*Q)'(Q)=P'(Q)*Q+Q'(Q)*P(Q)=P'(Q)*Q+P(Q);P'(Q)=e^{\frac{1}{Q}}*\frac{-1}{Q^2};MR(Q)=e^{\frac{1}{Q}}*(1-\frac{1}{Q})$
При $Q<1$ $MR(Q)<0$,значит выручка снижается с увеличением $Q$.Таким образом,при $Q=1$ достигается минимум выручки.При $Q>1$ $MR(Q)>0$,значит с увеличением $Q$ выручка растет.По условию $Q\ge 0,5;Q\le 2$,значит надо сравнить $TR(0,5)$ и $TR(2)$,так как на отрезке $[0,5;1)$ выручка падает,при $Q=1$ достигается минимум,а на отрезке $(1;2]$ выручка растет.
$TR(0,5)=0,5e^2;TR(2)=2\sqrt{e};$$0,5e^2>2\sqrt{e}$,значит $max TR= 0,5e^2\approx 3,695$
Ответ:$max TR= 0,5e^2\approx 3,695$

[ALEXIN]

Scholnik!

Решал по наитию. Не знаю, насколько правильно.
Задача № 1.
Делаю бегло.
Было соотношение доллара как «2:1» надо — паритет, т.е. как «1:1».
Инфляция в США: 1/1.2 = 0.8333
Инфляция в РФ: 2/1,5 = 1.3333
1.3333 * (1 – Х) = 0.8333
Х = (1 - 0.8333/1.3333)*100 = 37.5%
По задаче № 2 чуть позже.

[Scholnik]

ALEXIN
Благодарю!У меня такой же ответ,как у Вас,просто ошибся с арифметикой:ведь $\frac{e_1-e_0}{e_0}*100\%=\frac{\frac{1,25Y_0}{X_0}-\frac{2Y_0}{X_0}}{\frac{2Y_0}{X_0}}*100\%=\frac{1,25-2}{2}*100\%=-37,5\%$,а не $-37,75\%$,как я почему-то посчитал первоначально.В итоге у нас у обоих номинальный курс доллара падает на $37,5\%$,только Ваше решение более понятное и простое.

[ALEXIN]

Scholnik!

По задаче № 2.
Многое подзабыл…
Верно ли окончательное: MR(Q) = e^(1/Q)*(1 – 1/Q). Замучили сомнения?!
Разве не так? — MR(Q) = e^(1/Q)*( Q – 1/Q), 0.5<Q<2
Через Вольфрам получаю такие результаты:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=MR ... .5%3CQ%3C2

[Scholnik]

ALEXIN
Здесь не согласен.Во-первых,вольфрам дает мой вариант MR: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %29Q%29%27
Во-вторых,показывая свое решение,я специально расписал $MR$ как $MR(Q)=P'(Q)*Q+P(Q)$,дабы не возиться с производной от функции выручки,и этот способ дает такой же результат,как и вольфрам

[ALEXIN]

Scholnik!

Согласен. Всё-таки, надёжней проверять с конца — через интеграл.
Пока ещё размышляю над способами решения.
Смотрите: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %29%2CQ%29

[ALEXIN]

Scholnik!

Напишу правду — как думаю. Составители задачи № 2 в экономике — «ни ухом, ни рылом!» В чем здесь видно «изюминку»? Не в чём! Где оптимизация прибыли?!
Заурядная лабуда — изучение давно изученного. Кому интересно — смотрите пояснения ниже. По замыслу Автора задачи — предельный доход сводится только к исследованию свойств показательной функции.
Ну, кому интересна выручка без затрат? Наверно, только дилетантам от экономики. Все графики можно построить легко умозрительно, зная из формулы величину основания и степени.

График предельного дохода по формуле — MR = e^(1/Q)*( 1 – 1/Q), Q<2. Смотрите:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=MR ... 9%2C+Q%3C2
График выручки от реализации по формуле — ТR = e^(1/Q)*(Q), Q<2. Смотрите:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%D ... 9%2C+Q%3C2

Пояснения:
Экономический смысл производной (см.ниже). — http://ficlas.ru/priduf/tabl33.htm
Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций. — http://schoolife.ru/education/algebra/p ... nkciy.html
Понятие показательной функции. Свойства показательной функции: монотонность показательной функции, промежутки возрастания (убывания). — http://schoolife.ru/education/algebra/p ... kciya.html
Элементарные функции и их графики. — http://mathematics.ru/courses/function/ ... heory.html
Формулы преобразования логарифма. Логарифм произведения, частного, степени, корня. Формула перехода от одного основания логарифма к другому. — http://schoolife.ru/education/algebra/p ... rifma.html

[Scholnik]

ALEXIN
Вполне нормальная задача-изюминка в том,что условие $MR=0;E^Q_P=-1 $ дает минимум,а не максимум выручки.Если же было бы условие максимизировать прибыль,надо было бы вместо функций выручки/предельной выручки анализировать функции прибыли/предельной прибыли,вот и все.