Почему среднее арифметическое нельзя считать итерациями?

[bigarcus]

Пример. Имеется последовательность чисел: 1, 2, 3. Среднее арифметическое:

$$ \frac{1+2+3}{3}=2 $$

Почему неправильно было бы считать итерациями, то есть последовательно, по шагам? А именно:
Шаг1. Найдем среднее арифметическое первых двух членом последовательности, т.е. $\frac{1+2}{2}=1.5$.
Шаг2. Найдем среднее арифметическое между получившемся значением и третьим членом последовательности, т.е. $\frac{1,5+3}{2}=2.25$.

Или я ошибочно понимаю среднее арифметическое двух чисел как нахождение середины между двумя точками на числовой прямой?
Если не ошибочно, то по моей логике должно быть безразлично, сразу для всех чисел (=точек) считать среднее арифметическое, или для каждой из пар, потом для каждой пары пар и т.д.

[svv]

Найдите Вашим способом среднее арифметическое не трех конкретных чисел, а, например, $a, b, c$. Ответ скажет сам за себя.

[bigarcus]

Первый (правильный) путь:

$$ \begin{equation} \frac{a+b+c}{3}=\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3} \end{equation} $$

Второй (итерационный) путь:

$$ \begin{equation} \frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}=\frac{\frac{a+b+2c}{2}}{2}=\frac{a+b+2c}{4}=\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2} \end{equation} $$

Понятно, что (1)$\neq$(2) (это видно, например, если положить $b=c=0$).

-- Чт июл 11, 2013 02:03:04 --

Но почему так?
Разве понимание среднего арифметического как нахождения середины отрезка неверно?

-- Чт июл 11, 2013 02:06:43 --

Есть прямая. На ней две точки: слева $a_1$ и правее $a_2$. Тогда среднее арифметическое $x$ находится посередине между $a_1$ и $a_2$:

$$ x-a_1=a_2-x $$

$$ 2x=a_1+a_2 $$

$$ x=\frac{a_1+a_2}{2} $$

Так что разве имеет значение порядок отыскания такой середины в случае $n$ точек?
По-моему, нет. Где я ошибаюсь?

[g______d]

bigarcus в сообщении #745017 писал(а):

Разве понимание среднего арифметического как нахождения середины отрезка неверно?

Если чисел много, то о каком отрезке идет речь? Если об отрезке между минимальным и максимальным числом, то нет; ответ зависит от расположения промежуточных чисел. Более правильная интерпретация – центр тяжести.

Может быть, будет лучше понятно, если посчитаете среднее от 99 нулей и одной единицы.

[bigarcus]

g______d в сообщении #745018 писал(а):

Если чисел много, то о каком отрезке идет речь?

Ну, пусть чисел много. Берём любые два члена последовательности, находим их середину. Потом между этой найденной точкой и ещё одним членом последовательности снова находим середину. И т.д. Почему так нельзя?

-- Чт июл 11, 2013 02:17:27 --

g______d в сообщении #745018 писал(а):

Более правильная интерпретация – центр тяжести.

Может быть, будет лучше понятно, если посчитаете среднее от 99 нулей и одной единицы.

Да, благодаря этому примеру понятно, что центр тяжести - правильная интерпретация.
Но почему центр тяжести нельзя искать последовательно?

[g______d]

bigarcus в сообщении #745019 писал(а):

Но почему центр тяжести нельзя искать последовательно?

Можно. Называется "теорема о перегруппировке масс". Но на каждом шаге массы нужно корректировать.

Например, есть три точки с массами 1 кг. Можно взять 2 точки и заменить их на одну, расположенную в их центре тяжести. Но у новой точки должна быть 2 кг, а не 1.

-- 11.07.2013, 03:24 --

bigarcus в сообщении #745019 писал(а):

Ну, пусть чисел много. Берём любые два члена последовательности, находим их середину. Потом между этой найденной точкой и ещё одним членом последовательности снова находим середину. И т.д. Почему так нельзя?

Потому что зависит от порядка, в котором мы это делаем, как Вы и убедились на примерах.

[mihailm]

bigarcus в сообщении #745012 писал(а):

...
Шаг1. Найдем среднее арифметическое первых двух членом последовательности, т.е. $\frac{1+2}{2}=1.5$.
Шаг2. Найдем среднее арифметическое между получившемся значением и третьим членом последовательности, т.е. $\frac{1,5+3}{2}=2.25$.
...

Тут надо пользоваться не средним арифметическим, а средневзвешенным, так как точка 1,5 в два раза тяжелее точки 3.
Посчитайте среднюю цену масла если вы купили 2 кг одного сорта по 1,5 рубля за кило и 1 кг за 3 рубля другого сорта.

[Евгений Машеров]

Потому, что можно. Но не так, как Вы предлагаете. Используя взвешенное среднее, можно получить среднее арифметическое. И это практически используется. При Вашей схеме последнее наблюдение войдёт с весом 1/2, а вес первого (и второго) при каждом усреднении будет половиниться, и окончательно будет равен $\frac 1 {2^{n-1}}$, промежуточные же точки войдут с разными, постепенно растущими к концу весами. Для среднего же арифметического все точки равноправны. Подобная схема усреднения, с постоянными коэффициентами, впрочем, также бывает полезна. Она известна под названием "экспоненциального сглаживания", вычисляемого, как $s_n=\alpha x_n+(1-\alpha) s_{n-1}$ ( при этом принимается $s_1=x_1$)
Если альфа равна 1/2, то приходим к Вашей схеме, хотя на практике берут другие значение, сообразно выполняемой задаче (это, собственно, фильтр низких частот, не слишком хороший в плане крутизны среза, но простой и надёжный, и выбор альфы задаёт полосу пропускания). Такое усреднение неглижирует ранними наблюдениями, беря более поздние с большим весом, что целесообразно, если искомое среднее не постоянная, а медленно меняющаяся величина.
Если же Вас интересует именно среднее арифметическое (невзвешенное), то рекурсивное выражение будет включать переменные веса и выглядеть, как
$a_n=\frac {x_n} n+\frac {(n-1)a_{n-1}} n$

[svv]

bigarcus, взгляните на формулку:

$$\frac{\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}+d}{2}$$

Вы видите, что, фактически, $a$ делится сначала на $2$, а потом ещё на $2$, а потом ещё на $2$ (уже в составе сумм)? А $d$ делится на $2$ только один раз.
Поэтому результат в разной степени чувствителен к $a$ и $d$: изменение $a$ на некоторое $\varepsilon$ в четыре раза меньше скажется на результате, чем изменение $d$ на такое же $\varepsilon$.
Вывод: исходные числа учитываются такой процедурой несправедливо, неодинаково.
Иногда (см. сообщение Евгения Машерова) это и требуется.

[arseniiv]

Почему нельзя без весов:

bigarcus в сообщении #745019 писал(а):

Почему так нельзя?

Посмотрите на ваш предыдущий результат:

bigarcus в сообщении #745017 писал(а):

Второй (итерационный) путь:

$$ \begin{equation} \frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}=\frac{\frac{a+b+2c}{2}}{2}=\frac{a+b+2c}{4}=\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2} \end{equation} $$

А теперь переставьте $a$ и $c$. Результат изменится, хотя он должен быть одним и тем же для любой перестановки $(a,b,c)$.

Об этом и говорил g______d и успел написать до svv.

-- Чт июл 11, 2013 15:51:52 --

Т. е. важно, чтобы среднее арифметическое можно было сделать функцией (мульти)множеств чисел, т. к. оно не зависит от их порядка.