Эластичность доли расходов на товар по доходу

[Scholnik]

Пусть $x=D(p_{x},I,...)$ и $p_{x}=const$.Вывести эластичность доли расходов на товар $x$ по доходу через эластичность спроса на товар $x$ по доходу.

[temp03]

производная

[Scholnik]

Я сам придумал эту задачу и выставил ее,чтобы кто-то смог порешать.

[Scholnik]

Вижу,никто не горит желанием решать,поэтому приведу свое решение
1 способ
Воспользуемся двумя утверждениями:1)Если $c=const$,то эластичность функции $c*f(x)$ равна эластичности функции $f(x)$.Действительно,$E^{c*f(x)}_x=c*f'(x)*\frac{x}{c*f(x)}=f'(x)*\frac{x}{f(x)}=E^{f(x)}_x$
2)Эластичность частного двух функций равна разности их эластичностей,то есть если $g(x)=\frac{m(x)}{k(x)}$,то $E^{g(x)}_x=E^{m(x)}_x-E^{k(x)}_x$
$E^{g(x)}_x=g'(x)*\frac{x}{g(x)}=(\frac{m(x)}{k(x)})'(x)*\frac{x*k(x)}{m(x)}=\frac{m'(x)*k(x)-k'(x)*m(x)}{k^2(x)}*\frac{x*k(x)}{m(x)}=\frac{m'(x)*k(x)*x-k'(x)*m(x)*x}{k(x)*m(x)}=m'(x)*\frac{x}{m(x)}-k'(x)*\frac{x}{k(x)}=E^{m(x)}_x-E^{k(x)}_x$
Доля расходов на товар $x$ равна $\frac{p_{x}*x(I)}{I}$.Так как $p_x=const$,то из первого утверждения следует,что эластичность функции $\frac{p_{x}*x(I)}{I}$ равна эластичности функции $\frac{x(I)}{I}$.А из второго утверждения следует,что $E^{\frac{x(I)}{I}}_I=E^{x(I)}_I-E^I_I=E^{x(I)}_I-1$
2 способ
Можно было вывести $E^{\frac{p_x*x(I)}{I}}_I=E^{x(I)}_I -1$ и без использования специальных утверждений.
Пусть $f(I)=\frac{p_x*x(I)}{I}$.
$E^{f(I)}_I=f'(I)*\frac{I}{f(I)}=(\frac{p_x*x(I)}{I})'(I)*\frac{I^2}{p_x*x(I)}=\frac{p_x*x'(I)*I-I'(I)*p_x*x(I)}{I^2}*\frac{I^2}{p_x*x(I)}=\frac{p_x*x'(I)*I-p_x*x(I)}{p_x*x(I)}=x'(I)*\frac{I}{x(I)}-1=E^{x(I)}_I -1$
Вывод:эластичность доли расходов на товар по доходу равна разности эластичности спроса на товар по доходу и единицы
Практическая польза задачи в том,что она строго математически доказывает тот факт,что для товаров роскоши доля расходов растет с увеличением дохода,а для остальных товаров(инфериорных и первой необходимости) доля расходов падает с ростом дохода,и наоборот.Так сказать,как бы попытка доказательства выводов Энгеля о структуре потребления в условиях жестких цен.
Примечание:не путать товар $x$ и функции $f(x),g(x),m(x),k(x)$ в 1 способе:там $x$-это аргумент функций

[ALEXIN]

Scholnik и temp03!

Во-о-от и думаю… теория без практики мертва. Помогите решить задачу. Совсем заплутал — в трёх соснах.

Условия. Дана функция спроса некоторого товара
Qd (p, p1, p2, I) = 120 – 3p + 1.5p1 – 0.5p2 – 0.8I,
где p есть цена этого товара, p1 есть цена другого товара (A), p2 есть цена третьего товара (B), I - есть доход покупателя. Используя частные производные функции спроса, определить характер зависимости спроса товара от цен товаров A и B и от величины дохода покупателя.
Определить который из товаров (A и B) является дополняющим товаром, а который замещающим. Определить является ли товар товаром высокого или низкого качества. Все ответы обосновать.

[temp03]

Ну частная производная как ищется? Всё фиксируем, а выбранную дифференцируем. Для $p_1$ будет:
$\dfrac{dQ_d}{dp_1}=?$. Какая? Если производная положительна: значит товар какой? Дополняющий или замещающий?

[ALEXIN]

temp03!

За последние трое суток — просмотрел около 20 Мб (чистыми формулами). Не спал две ночи. Поэтому теоретические рассуждения и «подсказки» мне малоинтересны. Ценится практика.

Первая частная производная: (-3p)’ = -3; (1.5p1)’ = 1.5; (-0.5p2)’ = -0.5 и (-0.8I)’ = -0.8
Первая частная производная по обратным функциям соответственно: -1/3; 2/3; - 2; - 1.25.

Вопрос: используя частные производные функции спроса, определить характер зависимости спроса товара от цен товаров A и B и от величины дохода покупателя. Какая зависимость?
temp03, будьте любезны ответить, сделав простейший расчёт — даже без указания производных, сам догадаюсь!

Вопрос: определить который из товаров (A и B) является дополняющим товаром, а который замещающим.
temp03, будьте любезны ответить, на основе расчёта, что за товары —сокращённо.
И т.п. и т.д. , а словоблудие нигде не ценится! Дело ценится!

[temp03]

ALEXIN в сообщении #744373 писал(а):

Первая частная производная: (-3p)’ = -3; (1.5p1)’ = 1.5; (-0.5p2)’ = -0.5 и (-0.8I)’ = -0.8

ну молодец!

ALEXIN в сообщении #744373 писал(а):

Первая частная производная по обратным функциям соответственно: -1/3; 2/3; - 2; - 1.25.

а это ещё зачем???

ALEXIN в сообщении #744373 писал(а):

Вопрос: используя частные производные функции спроса, определить характер зависимости спроса товара от цен товаров A и B и от величины дохода покупателя. Какая зависимость?

что такое спрос на товар? Что такое взаимодополняющие товары? Каков характер спроса на них в зависимости от спроса на другой? А замещающие? Это же всё есть в учебниках. Макконелс и Стенли Брю, если память не изменяет.

ALEXIN в сообщении #744373 писал(а):

И т.п. и т.д. , а словоблудие нигде не ценится! Дело ценится!

хорошо. Вот и покажите дело, что вы понимаете мои подсказки.
Вот три товара: зубная паста, мыло и бутылка пива. Напишите как на них будет спрос на ваших графиках. Что будет $p,p_1,p_2$?

[temp03]

ALEXIN в сообщении #744373 писал(а):

temp03, будьте любезны ответить, сделав простейший расчёт — даже без указания производных, сам догадаюсь!

извините, не заметил. На самом деле всё очень просто: взаимодополняющие - это те, что помогают продавать друга дружку, взаимозамещающие - это условно разные. Т.е. либо те либо те.
Ну очевидно, что когда вы покупаете зубную щётку, то до компании можно купить и мыло: оно стоит 10 рублей и желательно бытовую химию покупать отдельно от продуктов, дабы не нести в одном пакете, что порошком продукты не отдавали.
Поэтому с помидорами вы порошок покупать не будете, а вот с зубной щёткой - самый раз.

Теперь смотрим на кривую спроса....
Вот вы пришли в магазин и решили купить щётку... значит что? Значит и мыло (дополняющий товар). Тогда как зависит спрос на мыло от спроса на щётку? Линейно вверх! Чем больше берут щёток (нужно, спрос на) - тем больше нужно и мыла. Значит производная какая? Положительная? Конечно! Это взаимодополняющие товары.

А у взаимозамещающих - т.е. у щётки и пива - наоборот: чем больше берут пива, тем меньше достаётся щёткам ))). Т.е. производная отрицательная.
Все числа вы уже и сами получили.

[Scholnik]

ALEXIN
Товар $X$ является дополняющим к товару $Y$,если перекрестная эластичность товара $X$ цене товара $Y$отрицательна .Товар $X$ является замещающим товар $Z$,если перекрестная эластичность товара $X$ по цене товара $Z$ положительна.Товар $X$ является товаром высокого качества,если эластичность товара $X$ по доходу положительна.Товар $X$ является товаром низкого качества,если эластичность товара $X$ по доходу отрицательна.
Теперь к задаче:
Перекрестная эластичность товара $Q$ по цене товара $A$:$E^Q_{P_1}=Q'(P_1)*\frac{P_1}{Q}=1,5*\frac{P_1}{Q}>0$,так как $\frac{P_1}{Q}>0$.Значит,товар $A$-замещающий товар $Q$
Перекрестная эластичность товара $Q$ по цене товара $B$:$E^Q_{P_2}=Q'(P_2)*\frac{P_2}{Q}=-0,5*\frac{P_2}{Q}<0$,так как $\frac{P_2}{Q}>0$.Значит,товар $B$-дополняющий товар $Q$
Эластичность товара $Q$ по доходу $I$:$E^Q_{I}=Q'(I)*\frac{I}{Q}=-0,8*\frac{I}{Q}<0$,так как $\frac{I}{Q}>0$.Значит,товар $Q$-товар низшего качества

[ALEXIN]

Scholnik!
Не согласен. Многие сайты и учебники забиты такой мутью. Ясности нет. Что ещё за товар Q?
Пусть задача абстрактная, но численное решение должно быть.

[temp03]

ALEXIN в сообщении #744826 писал(а):

Что ещё за товар Q?

это не товар. Это условное обозначение - по традиции количества (quantity). Буквы он написал, чтобы привести решение в стандартный вид, т.к. одни лишь голые производные мало согласуются с тем, что пишет учебник...
Но вот подумать, Scholnik не подумал... просто тупо переписал с учебника что

Scholnik в сообщении #744457 писал(а):

Товар $X$ является дополняющим к товару $Y$,если перекрестная эластичность товара $X$ цене товара $Y$отрицательна .Товар $X$ является замещающим товар $Z$,если перекрестная эластичность товара $X$ по цене товара $Z$ положительна.

а вот понимать как это? Он не стал.
Типичная ошибка математика при решении экономических задач. А думать надо всегда.

Почитать можно, скажем Парето