2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Polar/Cartesian function
Сообщение08.07.2013, 20:07 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
А есть ли решение у такого функционального уравнения:
Изображение
Ну и чтоб граничные условия выполнялись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение08.07.2013, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Есть:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение08.07.2013, 20:39 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Dave, ваш график - просто график.
А вот если вы поняли, что имеется в виду на моём графике, то результат должен быть однозначен, причём не очевидно, что граничные точки окажутся именно такими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение08.07.2013, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
А выделя(е|ю)тся ли уравнени(е|я) из картинки однозначно?

(Пусть $y = f(x),\; r = g(\varphi)$.) Видно, что $f$ и $g$ должны быть непрерывными. Не могу убедить себя в том, что они должны быть и монотонными. Должно ли вообще $f(t) + g(t) = 1$ — уверенности обязаны вести себя как вероятности?

Насчёт граничных точек: $f(0) = g(0) = 0{,}5$ видится более оправданным условием, чем $f(\mathrm{end}) = 0,\; g(\mathrm{end}) = 1$ — вдруг мы постоянно сомневаемся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 00:14 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Тут прикол в том, что это должны быть связанные функции, $r(t)=1-y(t)$.
Так что в конце: $\varphi_{final}={\pi\over2} \to y_{final} = y(1) = 0 \to r_{final}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 18:30 
Заслуженный участник


28/04/09
1917
Я прошу прощения, но нельзя ли слегка пояснить условие? А то пока именно решение Dave выглядит наиболее логичным. :-)
Если имеется в виду, что нужно найти функцию, графики которой в полярной и декартовой системах координат совпадают (хотя бы на каком-то участке), то функциональное уравнение записать (но не решить, увы) не сложно: $f(f(u)\sin u)=f(u)\cos u$.
Однако судя по сообщениям arseniiv и venco, а также присутствию на картинке загадочных процентиков, стрелочки и слов "функция от времени", имеется в виду нечто более хитрое. В общем, хочется увидеть пояснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 19:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
EtCetera в сообщении #744640 писал(а):
Если имеется в виду, что нужно найти функцию, графики которой в полярной и декартовой системах координат совпадают (хотя бы на каком-то участке), то функциональное уравнение записать (но не решить, увы) не сложно: $f(f(u)\sin u)=f(u)\cos u$.
Где-то так, с точностью до $\pi\over2$. ;-)
У меня получилось: $r(r(t)\sin{\pi t\over2})=1-r(t)\cos{\pi t\over2}$.
Ну и цель не в том, чтобы решить аналитически, а доказать, что такая функция существует на всём отрезке, и в нуле равна $1\over2$ - это очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 20:39 
Заслуженный участник


28/04/09
1917
$\frac{\pi}{2}$ я еще могу понять, но откуда взялись единица с минусом? Это "подгонка" под картинку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 20:58 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Сумма "вероятностей" полярного и декартова графиков в каждый момент времени равна единице - либо полярный, либо декартов. Одному моменту времени соответствуют две точки на графике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Polar/Cartesian function
Сообщение09.07.2013, 21:18 
Заслуженный участник


28/04/09
1917
Теперь все начало проясняться, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group