Polar/Cartesian function

[venco]

А есть ли решение у такого функционального уравнения:

Ну и чтоб граничные условия выполнялись.

[Dave]

Есть:

[venco]

Dave, ваш график - просто график.
А вот если вы поняли, что имеется в виду на моём графике, то результат должен быть однозначен, причём не очевидно, что граничные точки окажутся именно такими.

[arseniiv]

А выделя(е|ю)тся ли уравнени(е|я) из картинки однозначно?

(Пусть $y = f(x),\; r = g(\varphi)$.) Видно, что $f$ и $g$ должны быть непрерывными. Не могу убедить себя в том, что они должны быть и монотонными. Должно ли вообще $f(t) + g(t) = 1$ — уверенности обязаны вести себя как вероятности?

Насчёт граничных точек: $f(0) = g(0) = 0{,}5$ видится более оправданным условием, чем $f(\mathrm{end}) = 0,\; g(\mathrm{end}) = 1$ — вдруг мы постоянно сомневаемся?

[venco]

Тут прикол в том, что это должны быть связанные функции, $r(t)=1-y(t)$.
Так что в конце: $\varphi_{final}={\pi\over2} \to y_{final} = y(1) = 0 \to r_{final}=1$.

[EtCetera]

Я прошу прощения, но нельзя ли слегка пояснить условие? А то пока именно решение Dave выглядит наиболее логичным.
Если имеется в виду, что нужно найти функцию, графики которой в полярной и декартовой системах координат совпадают (хотя бы на каком-то участке), то функциональное уравнение записать (но не решить, увы) не сложно: $f(f(u)\sin u)=f(u)\cos u$.
Однако судя по сообщениям arseniiv и venco, а также присутствию на картинке загадочных процентиков, стрелочки и слов "функция от времени", имеется в виду нечто более хитрое. В общем, хочется увидеть пояснения.

[venco]

EtCetera в сообщении #744640 писал(а):

Если имеется в виду, что нужно найти функцию, графики которой в полярной и декартовой системах координат совпадают (хотя бы на каком-то участке), то функциональное уравнение записать (но не решить, увы) не сложно: $f(f(u)\sin u)=f(u)\cos u$.

Где-то так, с точностью до $\pi\over2$.
У меня получилось: $r(r(t)\sin{\pi t\over2})=1-r(t)\cos{\pi t\over2}$.
Ну и цель не в том, чтобы решить аналитически, а доказать, что такая функция существует на всём отрезке, и в нуле равна $1\over2$ - это очевидно.

[EtCetera]

$\frac{\pi}{2}$ я еще могу понять, но откуда взялись единица с минусом? Это "подгонка" под картинку?

[venco]

Сумма "вероятностей" полярного и декартова графиков в каждый момент времени равна единице - либо полярный, либо декартов. Одному моменту времени соответствуют две точки на графике.

[EtCetera]

Теперь все начало проясняться, спасибо.