Гомотетия относительно центра

[BENEDIKT]

Хотелось бы уточнить кое-что, связанное с гомотетией относительно центра. Разъяснений в учебнике увы не вполне достаточно.
В первую очередь: совпадает ли коэффициент гомотетии с коэффициентом подобия при преобразовании фигуры относительно фиксированной точки - центра гомотетии? Пусть $F$ - данная фигура и $O$ - фиксированная точка. Преобразуем фигуру $F$ так, что бы каждая её точка $X$ перешла в точку $Y$ фигуры N, так, что $ OY=k OX$.
Возьмём точки $A$ и $B$ на фигурах $F$ и $N$ соответственно. Будет ли $AX=kBY$, если k - коэффициент гомотетии?
Ведь по теореме гомотетия есть преобразование подобия. Тогда при гомотетии расстояние между соответствующими точками фигур изменяется в одно и то же число раз. Совпадает ли оно с коэффициентом гомотетии?
И если нет, то есть ли какая-то связь коэффициентов подобия и гомотетии? И в чём тогда смысл гомотетичных преобразований, если достаточно преобразований подобия с соответствующим коэффициентом?

[Otta]

BENEDIKT в сообщении #743986 писал(а):

Ведь по теореме гомотетия есть преобразование подобия. Тогда при гомотетии расстояние между соответствующими точками фигур изменяется в одно и то же число раз. Совпадает ли оно с коэффициентом гомотетии?

Совпадает. Если внимательно почитать теорему, в ней это доказывается.

[BENEDIKT]

Благодарю Вас!

[Otta]

Правда, тут надо быть аккуратным с определениями. Гомотетию в школьных учебниках определяют по-разному. Если она определялась только для положительных коэффициентов, то ответ на Ваш вопрос был озвучен выше - коэффициенты гомотетии и преобразования подобия одинаковы.

Если в том числе и для отрицательных - они совпадают по модулю.