Доказать, что матрица имеет отриц. собст. знач.

[R_e_n]

Дан неориентированный связный граф $G$ без петель. Пронумеруем все его вершины.
Матрица смежности графа $G$ с конечным числом вершин $n$ (пронумерованных числами от 1
до $n$) - это квадратная матрица $A$ размера $n\cdot n$, в которой значение элемента $a_{ij}$ равно
числу ребер из $i$-й вершины графа в $j$-ю вершину. Докажите, что матрица $A$ имеет
отрицательное собственное значение.

1. Так как нет петель, то на диагонали матрицы $A$ стоят нули.
2. Матрица $A$ симметричная.
Дальше, вроде бы, на основе связности графа делается предположение о том, что матрица $A$ не вырождена. Но почему это так я не знаю, да и что делать дальше я не знаю. Подскажите, пожалуйста.

[sup]

А что вообще можно сказать про собственные значения симметричной матрицы?
И что можно сказать про такую матрицу, если у нее нет отрицательных собственных значения?
Может получится порассуждать от противного?

[R_e_n]

sup в сообщении #743457 писал(а):

А что вообще можно сказать про собственные значения симметричной матрицы?

Нашел теорему:
Собственные числа вещественной симметричной матрицы все вещественны.

sup в сообщении #743457 писал(а):

И что можно сказать про такую матрицу, если у нее нет отрицательных собственных значения?

Я не знаю, что можно сказать про такую матрицу

[g______d]

Надо посмотреть на след.

[R_e_n]

g______d в сообщении #743466 писал(а):

Надо посмотреть на след.

След матрицы $A$ = сумме собств. знач. матрицы $A$
След матрицы $A$ = 0 => сумма собств. знач. матрицы $A$ = 0
Если предположить, что отрицательных собственных значений нет, значит существует только одно собственное значение = 0.
Если теперь матрица не вырождена, значит там должны быть и отличные от нуля собственные значения. И получим противоречие.

А как доказать, что матрица невырождена?

[g______d]

R_e_n в сообщении #743472 писал(а):

Если предположить, что отрицательных собственных значений нет, значит существует только одно собственное значение = 0.
Если теперь матрица не вырождена, значит там должны быть и отличные от нуля собственные значения. И получим противоречие.

Нет, если у симметричной вещественной матрицы все собственные значения равны нулю, то она нулевая.

[R_e_n]

g______d в сообщении #743474 писал(а):

R_e_n в сообщении #743472 писал(а):

Если предположить, что отрицательных собственных значений нет, значит существует только одно собственное значение = 0.
Если теперь матрица не вырождена, значит там должны быть и отличные от нуля собственные значения. И получим противоречие.

Нет, если у симметричной вещественной матрицы все собственные значения равны нулю, то она нулевая.

На этом мои познания алгебры заканчиваются. Думаю, что бессмысленно спрашивать откуда это следует. Что бы это понять мне наверное надо заново перечитывать курс алгебры. Всем спасибо за помощь.

[Евгений Машеров]

$A=C^T \Lambda C$
И если все собственные значения равны нулю, то видно, что и матрица А может быть только нулевой.