Нули полиномов и компоненты связности линий уровня

[Chernoknizhnik]

Есть такая задача.
Точнее, сначала то есть многочлен $P\in \mathbb{C}[z]$, какое-нибудь неотрицательное число $c\in \mathbb{R}_{\ge 0}$. Посмотрим на множество $L_c=\{z\in \mathbb{C}| |P(z)|=c\}$. Если $c=0$, то это просто нули полинома, а их ровно $n$ (ну вы поняли). Значит, $L_0$ здесь имеет не более $n=\deg(P)$ компонент связности. Точка$=$компонента связности.

А если $c>0$? Ходят слухи, что $L_c$ всё равно будет иметь не более $n$ компонент! Вот как тут быть? Почему так?

Конечно, некоторые догадки я имею. А именно.
Отметим такую вещь: если $f$ голоморфна в некоторой области, а соответствующее ей $L_c$ - замкнутая кривая, то внутри её есть нули $f$. Это легко следует из принципа максимума модуля (переформулированного для минимума).
Вернемся к задаче с полиномом.
Хочется понять, что $L_c$ будет объединением замкнутых линий, внутри каждой из которых будет по корню $P$, которых не более $n$.
Помогите, пожалуйста, аккуратно разобраться.

[Sonic86]

Я не разбираюсь, но скажу.
$L_c$ непрерывно по $c$ (т.е. при достаточно малом изменении $c$ получаемые кривые изменяются достаточно мало, гомотопия). Поскольку при $c=0$ у нас $n$ компонент связности и $L_c$ непрерывно по $c$, то существует достаточно малое $c>0$ такое, что $L_c$ имеет вид $n$ почти кружочков, изолированных друг от друга, каждый кружочек содержит в центре один корень. С ростом $c$ кривые смыкаются и области объединяются, пока их не станет ровно одна со всеми корнями.
Конечно, это все совершенно нестрого.

[Chernoknizhnik]

Ну да, я примерно так и представлял это. Спасибо!

[sergei1961]

Внутри каждой компоненты не должно быть в пределе хотя бы одного корня?