Дифференциальное уравнение и свертка

[Asalex]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Помогите пожалуйста разобраться в таком вопросе.
Пусть есть две функции $y(.)$ и $u(.),$ связаны соотношением $y(x)=u(x)-u_{xx}(x).$
Нужно выразить $u$ через $y,$ если известно что $u,$ $u_{xx}$ быстро убывают при $x\to\pm\infty.$

Единственное, что мне приходит в голову по этому поводу, это написать формулу Коши для дифференциального уравнения, а именно

$$u(x)=\ch(x-x_0)u(x_0)+\sh(x-x_0)u'(x_0)-\int\limits_{x_0}^x\sh(x-t)y(t)dt.\qquad (1)$$

Для того чтобы использовать граничное условие $y(x)\to0$ при $x\to\pm\infty,$ нужно разделить экспоненты в $\sh$ под знаком интеграла. Однако у меня это пока что не получилось.
В умной книжке, однако, приведено искомое решение, а именно:

$$u(x)=\frac{1}{2}e^{-x}\int\limits_{-\infty}^xe^{t}y(t)dt+\frac{1}{2}e^x\int\limits_{x}^{\infty}e^{-t}y(t)dt.\qquad(2)$$

В качестве аргументации указано, что $u=p*y,$ где $p(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}.$
Можете мне кто-нибудь объяснить, как получена формула (2), и можно ли ее получить непосредственно из формулы (1), не применяя свертки.

[Otta]

Ну напишите, чему синус гиперболический равен, и будет Вам щасте. Да, и интегралы, конечно, другие нужны. Если только у Вас не даны начальные условия.

[ewert]

Asalex в сообщении #742622 писал(а):

В качестве аргументации указано, что $u=p*y,$ где $p(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}.$

Там вот что имелось в виду. С формальной точки зрения Вы имеете дело с уравнением $Au=y$, где дифференциальный оператор $A=-\frac{d^2}{dx^2}+1$ определён на гладких и достаточно быстро убывающих функциях. Тогда формально же $u=A^{-1}y$, где $A^{-1}$ -- интегральный оператор (т.е. $u=A^{-1}y\ \Leftrightarrow\ u(x)=\int\limits_{\infty}^{+\infty}G(x,t)\,y(t)\,dt$), ядро которого $G(x,t)$ называется функцией Грина. Это более-менее эквивалентно другому определению функции Грина как отклика дифференциальной задачи на дельта-функцию в правой части, т.е. эта функция должна удовлетворять граничным условиям (в данном случае убыванию на бесконечностях) по иксам и дифференциальному уравнению $-G''_{xx}+G=\delta(x-t)$. Такая функция легко конструируется из решений однородного ДУ (с нулём в правой части), и получается, естественно, $G(x,t)=\frac12e^{-|x-t|}$. Т.е. получается $u(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac12e^{-|x-t|}y(t)\,dt$, что как раз и зашифровано в Вашем (2).

Так, во всяком случае, на эвристическом уровне. Однако после того, как явная формула получена из каких угодно соображений, её справедливость уже легко проверить непосредственным дифференцированием при достаточно слабых ограничениях на игреки (какие-то ограничения, естественно, необходимы). Можно, конечно, исходить и из формулы Коши (т.е. фактически из метода вариации произвольных постоянных), но это с технической точки зрения некоторая морока.

[Asalex]

Уважаемый ewert, спасибо Вам большое за Ваш ответ!

Правильно ли я понимаю, что вид оператора $A^{-1}$, а именно, то что $A^{-1}y=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(x,t)y(t)dt$, мы угадываем из эвристических соображений. То есть мы ищем его в виде интеграла просто потому, что это формально обратный оператор к некоему дифференциальному оператору.
Откуда получается уравнение

$$G(x,t)-G_{xx}(x,t)=\delta(x-t)\qquad (3)$$

я понял, а вот как мы получили его решение $G(x,t)=\frac{1}{2}e^{-|x-t|}$ - не понял.
Если я правильно понимаю, то мы хотим сконструировать $G(x,t)$ из решений однородного уравнения $u-u_{xx}=0$, то есть из функций $e^x$ и $e^{-x}.$ И дальше мы (в общем-то, случайно) замечаем что функция $\frac{1}{2}e^{-|x-t|}$ является решением дифференциального уравнения (3), за исключением прямой $x=t,$ где и у функции, и у уравнения есть проблемы. И мы просто надеемся, что эти проблемы взаимоисключающие. Ну а после получения явной формулы для $u$ (из каких угодно эвристических соображений), проверить ее справедливость для достаточно хороших функций в самом деле не составляет труда. (Правда, поскольку формула "взята с потолка", нужно как-то отдельно устанавливать равносильность исходного ДУ и полученного ИУ: возможно, есть и другие решения ДУ. Но скорее всего это не трудно, не знаю.)
И вообще спасибо! Очень интересный, и, я так пониамю, достаточно общий метод!

По поводу формулы Коши или метода вариации произвольных постоянных. Меня не особо пугает техническая морока. Я просто принципиально не понимаю как это сделать. Если бы у меня было две выделенные точки, $x_0$ и $x_1,$ то я бы просто устремил одну точку к $-\infty,$ а другую к $+\infty.$ А так есть только одна выделенная точка $x_0,$ и я не понимаю что с этим делать.

[ewert]

Asalex в сообщении #742802 писал(а):

дальше мы (в общем-то, случайно) замечаем что функция $\frac{1}{2}e^{-|x-t|}$ является решением дифференциального уравнения (3), за исключением прямой $x=t,$

В общем-то отнюдь не случайно. Поскольку уравнение должно выполняться во всех точках, кроме $x=t$, наша функция обязана иметь вид

$$G(x,t)=\begin{cases}e^x\,u_-(t)&\text{ при }x<t,\\e^{-x}\,u_+(t)&\text{ при }x>t.\end{cases}$$

При этом она должна быть, во всяком случае, непрерывной при $x=t$ (иначе при двукратном дифференцировании выскочит производная от дельта-функции, а нам нужна лишь просто дельта-функция), т.е. должно выполняться $e^tu_-(t)\equiv e^{-t}u_+(t)$. Это означает, что функция должна иметь вид

$$G(x,t)=\gamma(t)\cdot\begin{cases}e^x\,e^{-t}&\text{ при }x<t,\\e^{-x}\,e^t&\text{ при }x>t\end{cases}=\gamma(t)\cdot e^{-|x-t|}.$$

Наконец, множитель $\gamma(t)$ должен делать минус единичным скачок первой производной этой функции при переходе через $x=t$ (так, чтобы после второго дифференцирования получилась ровно минус одна дельта-функция), а поскольку у $e^{-|x-t|}$ этот скачок равен, очевидно, минус двум, получается именно $\gamma(t)\equiv\frac12$. Так что никаких чудес тут нет, все ходы -- вынужденные.

(То, что $\gamma(t)$ оказывается константой -- конечно, не случайно; однако вдумываться в это на первый раз не обязательно.)

[ewert]

(Оффтоп)

прошу пардону за разгильдяйство в направлениях неравенств

[vladiko]

Вы изучали преобразование Фурье? Просто решение с его помощью занимает три строчки.

[Asalex]

Уважаемый ewert,
да, Вы правы, спасибо еще раз.

vladiko в сообщении #743315 писал(а):

Вы изучали преобразование Фурье? Просто решение с его помощью занимает три строчки.

ну в принципе слышал о таком. Напишите эти строчки, если не трудно.

[Otta]

Asalex в сообщении #742622 писал(а):

В умной книжке, однако, приведено искомое решение,...
В качестве аргументации указано, что $u=p*y,$ где $p(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}.$

Asalex в сообщении #743705 писал(а):

Напишите эти строчки, если не трудно.

А в умной книжке этих строчек не было? Эдак Вы нас весь курс тут конспектировать заставите.
Кратко, прямое преобразование Фурье Вашего уравнения даст $F(u)(t)=(1+t^2)^{-1}F(y)(t)$.
Чтобы посчитать $y$, применим к обеим частям обратное преобразование, получим $u(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}F^{-1}((1+t^2)^{-1})(x)*y(x)=p(x)*y(x)$, где $p(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}F^{-1}((1+t^2)^{-1})(x)=\frac 12 e^{-|x|}$.