дифф. уравнение с задержкой

[ecartman]

Добрый день!
Имеется следующее дифф. уравнение:

$$ \frac{1+x}{1+\theta}\frac{d}{dx}u(x) =\frac{1}{\theta}\left[u(x)-1-u\left(\frac{1+x}{1+\theta}\right)\right], $$

где $\theta>0$ - известная константа.
Путем определеленной замены переменных это уравнение можно свести к следующему:

$$ (e^{-t}/\theta+e^{-c})\frac{d}{dt}u(t) =\frac{1}{\theta}\left[u(t)-1-u(t-c)\right], $$

где $c=\log(1+\theta)>0$. Это уравнение с задержкой. Подозреваю, что не очень сложное. Посоветуйте, пожалуйста, справочник какой-нибудь по ОДУ с задержкой, возможно что-то похожее там будет. Или может подскажете как такого рода уравнения обычно решаются. Если это имеет значение, то частным решением оригинального уравнения является функция $u(x)=-x$.

Заранее спасибо.

[Portnov]

Обычный способ — "метод шагов". Сначала считаем, что при $t \in [-c; 0)$ $u(t) = u_0(t)$ — известная функция (а она в любом случае должна быть известна, это аналог начального условия для ОДУ). Тогда при $t \in [0; c)$ в правой части вашего уравнения $u(t-c)$ можно заменить на $u_0(t-c)$, и получится ОДУ. Решив это ОДУ, получим искомую $u(t)$ на промежутке $[0; c)$. Тогда при $t \in [c; 2c)$ в правой части $u(t-c)$ — уже известная функция, опять решаем ОДУ и находим $u(t)$ на $[c;2c)$. И так далее.

[ecartman]

Portnov в сообщении #742768 писал(а):

Обычный способ — "метод шагов". Сначала считаем, что при $t \in [-c; 0)$ $u(t) = u_0(t)$ — известная функция (а она в любом случае должна быть известна, это аналог начального условия для ОДУ). Тогда при $t \in [0; c)$ в правой части вашего уравнения $u(t-c)$ можно заменить на $u_0(t-c)$, и получится ОДУ. Решив это ОДУ, получим искомую $u(t)$ на промежутке $[0; c)$. Тогда при $t \in [c; 2c)$ в правой части $u(t-c)$ — уже известная функция, опять решаем ОДУ и находим $u(t)$ на $[c;2c)$. И так далее.

Спасибо, в данном конкретном случае все гораздо проще оказалось: решение имеет вид $u(x)=const-x$.
Но все равно спасибо за помощь.