Почему у решения уравнения Шрёдингера (1D) нет чётных нулей?

[Oleg Zubelevich]

до меня начало доходить : при $x\to+\infty$ у функции $U$ один предел, при $x\to-\infty$ -- другой. Асимптотически получаются решения двух разных линейных систем (отсюда 4 константы) c постоянными коэфициентами, с помощью выбора констант их можно склеить так, что получится $C^2$-гладкая функция из $L^2(\mathbb{R})$, дальше она просто нормируется так, что $\|\psi\|_{L^2}=1$

[Vince Diesel]

По теореме единственности, которая там упоминается, решение задачи Коши с $y(x_0)=y'(x_0)=0$ будет тождественным нулем.

[Munin]

ewert в сообщении #741162 писал(а):

Ну а ежели необычно -- что, сразу застрелиться?...

Хорошо, игнорируйте эту фразу. Ещё какие замечания?

-- 28.06.2013 00:16:45 --

Vince Diesel в сообщении #741168 писал(а):

По теореме единственности, которая там упоминается, решение задачи Коши с $y(x_0)=y'(x_0)=0$ будет тождественным нулем.

Во! Спасибо!!!

Осталось раскопать, когда нарушаются условия этой теоремы. Но вопрос практически закрыт.

[ewert]

Munin в сообщении #741171 писал(а):

Осталось раскопать, когда нарушаются условия этой теоремы.

Никогда не нарушаются. Если, конечно, потенциал суммируем. Если же нет, т.е. если есть слишком сильная особенность, то задача распадается на две независимых по обе стороны от особой точки. При этом в случае отталкивающей особенности просто распадается, а в случае притягивающей требует доопределения.

[Munin]

А вот и ответ в книге, ниже по тексту:

Иванов М. Г. в «Как понимать квантовую механику» § 6.2 писал(а):

Нарушение условий единственности решений стационарных уравнений Шрёдингера с данными граничными условиями физически соответствует тому, что область определения разделена бесконечно высокими стенками на несколько кусков, тогда в пределах каждого куска волновая функция задаётся независимо.

ewert в сообщении #741209 писал(а):

Если, конечно, потенциал суммируем. Если же нет, т.е. если есть слишком сильная особенность, то задача распадается на две независимых по обе стороны от особой точки. При этом в случае отталкивающей особенности просто распадается, а в случае притягивающей требует доопределения.

А что там с притягивающей особенностью? Можете написать подробнее?

-- 28.06.2013 14:04:26 --

Собственно, мой интерес ко всему этому вызван другой важной физической задачей: состояниями в области двух симметричных минимумов энергии. Мне известно, что если они почти разделены, то основное состояние для одного минимума расщепляется на два (вырождение снимается): в виде чётной и нечётной комбинации основных состояний в обоих минимумах. Благодаря указанному в теме утверждению, энергия расщепления всегда ненулевая. В то же время, есть бесконечномерные случаи, когда она нулевая (квантовополевой вакуум в "потенциале мексиканской шляпы"), так что этот момент довольно интересен.

[ewert]

Всегда можно определить сначала симметричный оператор на функциях, обращающихся в ноль в окрестности особой точки. Если особенность отталкивающая, то этот оператор полуограничен снизу, поэтому у него есть естественное самосопряжённое расширение (по Фридрихсу). Разумеется, оно сведётся к постановке нулевого граничного условия в особой точке. Если же особенность притягивающая, то полуограниченности нет, потому нет и естественного расширения (какие-то есть, конечно). Всё это, разумеется, при достаточно сильных особенностях (грубо говоря, начиная с кулоновской).

[spyphy]

(Оффтоп)

мне вот интересно, это тот же самый автор http://www.vixri.ru/?p=532 ?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #741273 писал(а):

Всегда можно определить сначала симметричный оператор на функциях, обращающихся в ноль в окрестности особой точки. Если особенность отталкивающая, то этот оператор полуограничен снизу, поэтому у него есть естественное самосопряжённое расширение (по Фридрихсу). Разумеется, оно сведётся к постановке нулевого граничного условия в особой точке. Если же особенность притягивающая, то полуограниченности нет, потому нет и естественного расширения (какие-то есть, конечно). Всё это, разумеется, при достаточно сильных особенностях (грубо говоря, начиная с кулоновской).

а это можно продемонстрировать на примере с конкретным потенциалом

[Nemiroff]

(Оффтоп)

spyphy в сообщении #741277 писал(а):

мне вот интересно, это тот же самый автор http://www.vixri.ru/?p=532 ?

Нет.

[Munin]

(Оффтоп)

spyphy в сообщении #741277 писал(а):

мне вот интересно, это тот же самый автор http://www.vixri.ru/?p=532 ?

Нет, это вот этот: http://mezhpr.fizteh.ru/biblio/q-ivanov.html
И там же есть примечание "Об однофамильцах и летающих тарелках": http://mezhpr.fizteh.ru/biblio/tarelki.html

-- 28.06.2013 15:03:52 --

(Оффтоп)

P. S. Книгу Иванова М. Г. я открыл после рекомендации, прозвучавшей в блоге Игоря Иванова (spark). Рекомендовали её в комментариях, И. Иванов отозвался, что по беглому просмотру книгу одобряет, хотя целиком поручиться за её качество не берётся.

-- 28.06.2013 15:06:40 --

ewert в сообщении #741273 писал(а):

Если особенность отталкивающая, то этот оператор полуограничен снизу

Я уже этой фразы не понимаю. Можно на языке первокурсника?

[saygogoplz]

О Это иванов, который вел у меня теорпол когда-то)

посмотрите 3 томик ЛЛ про общие свойства одномерного движения и попытайтесь сами доказать осцилляционную теорему
все ствнет на свои места

[Munin]

Да теорема меня мало волнует. Буду иметь ваш совет в виду на всякий случай.

[g______d]

У основного состояния, кстати говоря, нули бывают довольно редко. Если функция минимизирует энергию, то ее модуль тоже; следовательно, если есть основное состояние с нулями, то оно вырождено. А это тоже нечастое явление (точного критерия сейчас не вспомню).

[Munin]

g______d в сообщении #741439 писал(а):

У основного состояния, кстати говоря, нули бывают довольно редко.

Ага. Там же в книжке Иванова есть теорема, доказывающая, что никогда.

g______d в сообщении #741439 писал(а):

А это тоже нечастое явление (точного критерия сейчас не вспомню).

То же самое нарушение единственности решения: область разбивается на физически не сообщающиеся подобласти.

[saygogoplz]

Слушайте, киньте ссылку на книжку или полное название, а то я что-то сходу не могу ее найти...