внешнее умножение

[Oleg Zubelevich]

а существует ли гуманный способ доказательства ассоциативности внешнего умножения кососимметричных форм?

[Chernoknizhnik]

Правильно ли я понимаю, что кососимметрическая форма - это то же, что и кососимметрический тензор, т.е. образ отображения ассиметризации $A\in End(L^{\otimes p})$, определенного на разложимых тензорах $l_1\otimes l_2 \otimes...\otimes l_p$ как альтернированная сумма $\frac{1}{p!}\sum sign(\sigma) l_{\sigma(1)} \otimes l_{\sigma(2)}\otimes...\otrimes l_{\sigma(p)}$, где $\sigma$ пробегает симметрическую группу? Тут конечно, ограничения а характеристику поля, ну да ладно. Или не так?
Поправьте, пожалуйста.

[lena7]

(Оффтоп)

Chernoknizhnik в сообщении #740446 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что кососимметрическая форма - это то же, что и кососимметрический тензор

Над полями нулевой характеристики не важно, как определять внешнюю алгебру -- как подалгебру тензорной алгебры или как фактор. Имеется изоморфизм. В Кострикине--Манине было про это.

[Oleg Zubelevich]

меня интересует только случай конечномерных линейных пространств над $\mathbb{R}$

[Chernoknizhnik]

Т.о., $x_1 \wedge x_2 \wedge...\wedge x_p=A(x_1 \otimes x_2 \otimes...\otimes x_p)$. Тогда для $l,q \in \Lambda^p (L)$ $l\wedge q=A(l \otimes q)$. Легко проверить, что $A(A(l)\otimes q)=A(l\otimes q)=A(l\otimes A(q))$, откуда и следует ассоциативность. Весьма гуманно.

[Oleg Zubelevich]

не понял

-- Ср июн 26, 2013 10:35:22 --

$A(l)=l,\quad A(q)=q$ и что?

-- Ср июн 26, 2013 10:54:14 --

и почему все форму одной степени?

[Chernoknizhnik]

Я имел в виду, что $l,q\in \Lambda (L)$. Как Вы определяете внешнюю алгебру и умножение в ней?

-- 26.06.2013, 16:15 --

Если я Вас правильно понял (я неважно знаю терминологию), то могу посоветовать 6й параграф (часть 4) учебника Манина-Кострикина "Линейная алгебра и геометрия".

[g______d]

По-моему, здесь нужно соотношение типа $A(l\otimes q)=A(A(l)\otimes A(q))$. И оно равносильно теореме о произведении определителей.

[Oleg Zubelevich]

Если Вы используете обозначения Chernoknizhnik то эта формула является тривиальным тождеством, как я уже отметил выше. Что из нее следует -- непонятно

[g______d]

$l$ и $q$ – тензоры, не обязательно антисимметричные.

[Chernoknizhnik]

Да, извините, я тормознул - $l$ и $q$ - просто тензоры:-)

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #740672 писал(а):

$l$ и $q$ – тензоры, не обязательно антисимметричные.

вот, тогда я умею доказывать Вашу формулу только зубодробительной лобовой выкладкой. А как-то проще можно? Может можно нап какие-то теоремы сослаться из теории определителей, но я не знаю как.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #740693 писал(а):

вот, тогда я умею доказывать Вашу формулу только зубодробительной лобовой выкладкой. А как-то проще можно? Может можно нап какие-то теоремы сослаться из теории определителей, но я не знаю как.

Так а эта выкладка разве не есть в точности теорема об умножении определителей?

[Oleg Zubelevich]

что бы была теорема об умножении определителей нужны матрицы, которые перемножаются, вообщем я не понимаю как свести

[g______d]

Да, это не то же самое, но думаю, что можно доказать так же, как и теорему произведении определителей (там есть доказательство прямым подсчетом).