Расчитать терхмерный объем в римановом пространстве

[schekn]

Расчитать терхмерный объем в римановом пространстве для случая коллапсирующего тела.

Хотел оценть плотность вещества для тела, граница которого приближается к своему гравитационному радиусу.
Взял модель коллапсирующего тела из Вайнберга (стр. 370): давление всюду 0, плотность распределена равномерно по r. Метрика следующая (11.9.16) :

$\[{ds}^{2}={dt}^{2}-{\mathrm{R}\left( t\right) }^{2}\,\left( {\mathrm d\varphi}^{2}\,{r}^{2}\,{\mathrm{\sin}\left( \theta\right) }^{2}+{r}^{2}\,{\mathrm\left(d\theta\right) }^{2}+\frac{{dr}^{2}}{1-k\,{r}^{2}}\right) \]$

Учитывая, что в дальнейшем Вайнберг нашел постоянную $k$ сшивкой с внешним решением $k=r_g/a^3$, элемент трехмерного объема у меня получился:

$\[dV=\frac{4\,dr\,\pi\,{r}^{2}\,{\mathrm{R}\left( t\right) }^{3}}{\sqrt{1-\frac{{r}^{2}\,rg}{{a}^{3}}}}\]$ (1а)

В начальный момент принимается $R(0)=1$ (11.9.17), при этом радиус звезды равен $a$ (это постоянная в данных координатах) .

Интреграл (1а) в этом случае от $0$ до $a$ в момент $t=0$, когда только начался коллапс:

$V(0)=\[-\frac{2\,\pi\,\left( {a}^{\frac{5}{2}}\,rg\,\sqrt{{a}^{3}-{a}^{2}\,rg}-{a}^{\frac{9}{2}}\,\mathrm{\arcsin}\left( \frac{\sqrt{rg}}{\sqrt{a}}\right) \,\sqrt{rg}\right) }{{rg}^{2}}\]$ (2а)

И что -то мне все это перестало нравиться, поскольку плотность согласно формуле (11.9.38) есть :

$\rho(0)=3M/(4{\pi}a^3)$

А разделив $M$ на $V(0)$ получится нечто другое

[svv]

Формула (11.9.38) выглядит так, как будто объём звезды вычислялся в метрике Минковского. Почему? Ответ, возможно, содержится на странице 324. Вайнберг вводит два различных определения массы звезды и, похоже, в параграфе "Гравитационный коллапс" пользуется первым, в котором нет $\sqrt{g}$.

[schekn]

svv в сообщении #740404 писал(а):

Формула (11.9.38) выглядит так, как будто объём звезды вычислялся в метрике Минковского. Почему? Ответ, возможно, содержится на странице 324. Вайнберг вводит два различных определения массы звезды и, похоже, в параграфе "Гравитационный коллапс" пользуется первым, в котором нет $\sqrt{g}$.

Похожая формула у ЛЛ-2 в самом конце пар. 100, при этом Ландау-Лифшиц отмечают , что постоянная М, которая входит в метрику Шврацшильда ( и наверное в уравнение (11.9.38) Вайнберга), содержит как энергию вещества, так и энергию гравитационного поля. В метрике Шварцшильда в стандартных координатах мне не удалось сделать расчеты, поскольку при $r<r_g $ интегралы теряют смысл.
Осталось все таки непонятно, как расчитать плотность вещества, когда поверхность звезды уже приблизилась к $r_g$.

[schekn]

Я бы попросил модераторов перенести эту тему в раздел Дискуссионые. Там вроде народ поактивнее и может мне что-то подсказать дельное.