Уравнение четвертой степени

[KiberMath]

Задание - решить уравнение

$(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19$

Как к этому подойти? Может быть есть какая-нибудь хитрость?

[Brukvalub]

Если перейти к переменной у=х+2.5 , то получится биквадратное уравнение.

[KiberMath]

Brukvalub
А как вы нашли такую подстановку?

[Brukvalub]

Просто, когда я был маленьким, то решал такие задачи, и опыт остался.

[KiberMath]

Да мне не сама подстановка нужна, которая упростит это уравнение, а метод нахождения этой самой подстановки, желательно с доказательством...
Подскажите в какой книжке это можно найти, и где эту книжку можно найти

[незваный гость]

KiberMath писал(а):

(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19

Обратите внимание: $-2 + 7 = 1+4 = 5$. Что произойдет, если мы заменим $x \to y - a$? Эти суммы изменятся ровно на $2 a$. Если взять $a = 5/2$ обе суммы станут равными 0. В этом случае $(y-c)(y+c) = y^2-c^2$ и позволяет перейти к биквадратному уравнению.

P.S. В школьных уравнениях высоких степеней нет универсального алгоритма решения. Иногда можно угадать целый или рациональный корень, иногда — догадаться, что один из корней — кратный, иногда — как перейти к биквадратному уравнению. Увы! как заметил Brukvalub, ничего, кроме опыта здесь не помогает.

[KiberMath]

незваный гость
Спасибо )
Все понял

[Sensile]

В школе обычно такие уравнения решаются группировкой сомножителей попарно: например, первого и последнего, второго и третьего (это для данного случая). После перемножения уравнение принимает вид $(x^2+5x-14)( x^2+5x+4)=19$ и легко решается заменой $y=x^2+5x$