Вообщем мне подсказали, а я проверил, что функция

--- подходит для задачи 1.
Прообраз точки в этом случае --- две окружности, точка или одна окружность.
Тут возникает второй вопрос: можно придумать такое отображение, чтобы прообраз каждого связного множества был связен?