Задачи про функции

[alex-omsk]

1. Существует ли непрерывное отбражение $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, такое, что $f(\mathbb{R}^2)=[0,1]$,
а $f^{-1}(c)$ --- ограничено для любого $c \in [0,1]$?

Пусть $f(x,y)=\frac{1}{\exp(|x|+|y|)}$. Тогда $f^{-1}(c) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x|+|y|=c\}$ --- ограничено.

[ИСН]

В таких задачах иногда не поймёшь: точку пропустили по незначительности, или же она переводит задачу в другой класс.
Где у Вас достигается значение 0?

[alex-omsk]

Да, спасибо, вот в чём подвох.

-- Вт июн 25, 2013 16:57:08 --

Но судя по всему всё же существует такое отображение. Но что-то на ум нчиего не приходит, кроме тригонометрических, у которых прообраз неограничен.

[ИСН]

Конечно, существует. Например, такое: в точке (5,5) оно равно 0, а во всех остальных совпадает с Вашим.

[alex-omsk]

ИСН в сообщении #740254 писал(а):

Конечно, существует. Например, такое: в точке (5,5) оно равно 0, а во всех остальных совпадает с Вашим.

Да-да, конечно непрерывное Забыл написать.

[ИСН]

Можно и непрерывное. Представьте, что график Вашей функции сделан из упругой пластмассы. Я нажимаю на точку (5,5) и продавливаю её до нуля. С близкими точками происходят какие-то пертурбации. Больше ничего не трогаю.

[alex-omsk]

Слаюо представляю себе график такой функции

[ИСН]

[alex-omsk]

Я к тому, что это как-то слабо формально, в любом случае.

-- Вт июн 25, 2013 18:00:47 --

2. Функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- диифференцируема почти всюду и почти всюду $f^{\prime}(x)=1$.Верно ли, что $f(1)-f(0)=1$?
Нет. Пусть $f(x)=\begin{cases} x+1, & x \geqslant \frac{1}{2}; \\ x, & x<\frac{1}{2}. \end{cases}$
Тогда $f(1)-f(0)=2$.

[alex-omsk]

Вообщем мне подсказали, а я проверил, что функция $f(x,y)=\frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{1+x^2+y^2}$ --- подходит для задачи 1.
Прообраз точки в этом случае --- две окружности, точка или одна окружность.

Тут возникает второй вопрос: можно придумать такое отображение, чтобы прообраз каждого связного множества был связен?