Задачи про замкнутые множества

[alex-omsk]

Так. Значит пусть $(X,\rho)$ --- сепрабельное метрическое пространство. Тогда для любого $Y \subset X$ $(Y,\rho)$ --- сепарабельное. Выберем в нем всюду плотное множество $Z$. Тогда по определению, для любого $y \in Y$ и для любого $\varepsilon >0$ существует $z \in Z$, так что $d(y,z) < \varepsilon$. Таким образом, все предельные точки замкнутого множества в качестве частичного предела я получу. Теперь в последовательность добавляем счетное число раз изолированные точки. Или просто берем последовательность такого типа: счётное число раз пересчитываем наше счетное множество. В этом случае уже любая точка получится частичным пределом.

-- Вт июн 25, 2013 12:50:11 --

iifat в сообщении #740194 писал(а):

Чтобы они получились предложенным способом как частичные пределы. Разумеется, можно и по-другому как-нибудь — скажем, добавить в нашу последовательность последовательность из каждой изолированной точки, например.

alex-omsk в сообщении #740033 писал(а):

замкнутое подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ может быть представлено в виде множества частичных пределов некоторой последовательности

Интересно, а при чём тут замкнутость? То ли формулировка где-то неточна, то ли я чего-то не понимаю...

Гм, вообще да, вроде нигде в рассуждение замкнутость не использовалась.

[iakovk]

mihailm в сообщении #740051 писал(а):

2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Уверены?

[alex-omsk]

iakovk в сообщении #740198 писал(а):

mihailm в сообщении #740051 писал(а):

2. Подпространство сепарабельного сепарабельно

Уверены?

У нас метрическое пространство, так что это верно.

[mihailm]

alex-omsk в сообщении #740196 писал(а):

...Гм, вообще да, вроде нигде в рассуждение замкнутость не использовалась.

Условие задачи можно понять двояко: 1) каждая точка $X$ является пределом некой подпоследовательности 2) множество всех частичных пределов образует $X$.
Замкнутость нужна для 2).

[alex-omsk]

Да, смотря как формулировать.