Поиск контрпримеров

[akp43dsn]

Интересуют конкретные методы поиска контрпримера на какое-либо (предположительно неверное) утверждение.
Какими способами это можно сделать? Существует ли схема, схожая с доказательствами теорем равносильности?

[Oleg Zubelevich]

а что существует схема доказательства теорем?

[akp43dsn]

Oleg Zubelevich

Серия "Мир математики" Доказательства.

Можно ответить и книжкой. :3

[Oleg Zubelevich]

А ну раз вы освоили схему доказательства теорем, то у вас есть способ быстро разбогатеть: http://www.claymath.org/millennium/

[longstreet]

Возможно, имеет смысл прочитать книгу Тао.

[akp43dsn]

Oleg Zubelevich

Ваш сарказм не уместен.
Если нечего предложить, то и не пишите.

longstreet

В википедии ссылка на публикацию "Решение математических задач: личный взгляд" на английском. Существует перевод?

[Sonic86]

akp43dsn в сообщении #739180 писал(а):

Oleg Zubelevich

Ваш сарказм не уместен.
Если нечего предложить, то и не пишите.

К сожалению, сарказм уместен. Например, исчисление предикатов (ИП) полно, но неразрешимо. Полнота означает, что для любой замкнутой формулы $F$ из ИП одна из формул $F$ и $\neg F$ общезначима, а вторая - нет, т.е. для нее существует контрпример. Если существует алгоритм поиска контрпримера, то применяя его параллельно к $F$ и к $\neg F$, получим основу алгоритма разрешимости, что противоречит неразрешимости ИП. (надеюсь, не наврал в рассуждении. Такое ощущение, что наврал)
Наврал. Ну вот примеры:
1. Существует нечетное совершенное число.
2. Вещественная часть нетривиальных нулей дзета-функции равна $1/2$.
3. Как найти контрпример к гипотезе Коллатца?
4. Найти для произвольного многочлена $f$ контрпример к утверждению $(\forall x_1)...(\forall x_n)f(x_1,...,x_n)\neq 0$
Т.е. когда Вы пишите "хочу метод поиска контрпримера", это понимается как "хочу метод поиска контрпримера вообще", а такового нет. Есть лишь конкретные классы утверждений, для которых можно строить контрпримеры (думаю, Вы имеете ввиду их, но об этом надо писать явно - правильно ставить вопрос). Какие конкретно классы Вы имеете ввиду - никто не знает. Например, есть алгоритм проверки истинности высказывания из алгебры высказываний, либо построения контрпримера. Интересно? Нет? Почему? Большинство примеров может оказаться либо тривиальными, либо слишком специальными, либо неалгоритмизуемыми.
Хотя бы какая область Вам нужна? Школьная математика? Алгебра? Теория множеств? Линейная алгебра? Матанализ? Функциональный анализ? Диффуры? (кстати, есть книга Геллбаума, Олмстеда Контрпримеры в анализе. Интересно? Нет? Почему?)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #739194 писал(а):

3. Как найти контрпример к гипотезе Коллатца?

Участвую в проекте распределённых вычислений, посвящённом этой проблеме. Пока что не нашли ;-)

[Sonic86]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #739198 писал(а):

Участвую в проекте распределённых вычислений, посвящённом этой проблеме. Пока-что не нашли

Надеюсь, что ТС Вам поможет

[akp43dsn]

Sonic86

Нужны основы, от которых идут методы поиска контрпримеров и доказательств вообще. Книга помогает, но не полностью.
Я и сам понимаю, что если бы существовал алгоритм, то математиком бы стала любая обезьяна.
Конкретней, мне не хватает практики. А рассуждать(как делает это средний физмат школьник) меня не учили.

(Оффтоп)

По ОП посту же понятно, что я профан, но с конкретным вопросом, а не в стиле:"Помогите мне освоить вузовский курс за год". Поэтому сарказм здесь неуместен!

[mihailm]

Попробуйте Пойа - Математика и правдоподобные рассуждения, есть более простая книга у него "Как решать задачу?".

[g______d]

Возможно, будет полезным почитать книги Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения" и "Как решать задачу". Ну еще есть книга Гелбаума и Олстеда "Контрпримеры в анализе". Там про то, как их искать, нету, но многие новые примеры основаны на уже известных, и вообще полезно знать, что бывает.

Вот еще есть книга http://en.wikipedia.org/wiki/Counterexa ... n_Topology (не читал) и страничка http://profsite.um.ac.ir/~moslehian/cfa/cfa.htm.

-- 21.06.2013, 21:56 --

mihailm в сообщении #739251 писал(а):

Попробуйте Пойа - Математика и правдоподобные рассуждения, есть более простая книга у него "Как решать задачу?".

Опередили :)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #739199 писал(а):

Надеюсь, что ТС Вам поможет :-)

Всё бы вам смеяться. Вольфрам показал, что проблема $3n+1$ эквивалентна некоторому клеточному автомату. Соответственно, этот вопрс равен вопросу останова некоей машины Тьюринга. А проблема останова решения не имеет. Единственный способ опровергнуть гипотезу состоит в нахождении контрпримера. Перебором и только им. Вот и стараемся, выделяем мощности ;-)

[g______d]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #739262 писал(а):

Соответственно, этот вопрс равен вопросу останова некоей машины Тьюринга. А проблема останова решения не имеет.

Не понятно. Не имеет решения проблема останова сразу для всех машин одновременно, т. е. не существует алгоритма, позволяющего взглянуть на машину и понять, остановится ли она или нет. Другими словами, не существует прибора, который может решать любую задачу. Тем не менее, есть довольно много конкретных задач, которые решить можно.

[Aritaborian]

Ну дык. Но проблема $3n+1$ сводится к автомату, предсказать эволюцию которого невозможно. Её можно лишь проследить.