Теорема о малых добавках и слабо вырожденные газы

[vanger]

Добрый день. Имею несколько смежных вопросов по статистической физике.

1. Почему верна теорема о малых добавках для потенциала $\Omega = -PV$?

Для других потенциалов она следует из того, что они — энергия плюс что-то. Например свободная энергия $F = E + TS$(и число частиц пусть постоянным будет). Потому, если есть малое приращение энергии E, вызванное какими-то внешними параметрами $d\Lambda$, то такая же $d\Lambda$ добавится к приращению F. Так что, если другие параметры, задающие потенциал, постоянны(S и V для E, T и V для F), то приращения и E и F будут равны $d\Lambda$.

Как теорема о малых добавках, включающая $\Omega$, соотносится с тем, что, скажем, для нерелятивистского газа $-\Omega = PV = \frac23 E$?

2. Почему поправка к, скажем, энергии слабо вырожденных газов имеет такой знак, какой имеет, а не противоположный?

Точнее, в чём не верно следующее рассуждение? Читать ниже написанное удобней с открытым 56 параграфом 5 тома ландавшица.

Пусть у нас нерелятивистский квазиклассический ферми(для определённости)-газ. Честно посчитаем его энергию, выразив плотность вероятности состояния через распределение Ферми. Получим интеграл, подинтегральное выражение которого пропорционально

$\frac{1} { e^{ \frac{E - \mu}{T} } + 1 } = e^{ \frac{\mu - E}{T} } - e^{ 2 \frac{\mu - E}{T} }$
/в приближении почти больцмановского газа/.

Возьмём интеграл. Получим

$ E = \frac{g V m^{3/2}}{2^{1/2} \pi^2 \hbar^3} \frac{3 \sqrt{\pi}}{4} T^{5/2} e^{\mu / T} \left( 1 - \frac{e^{\mu / T}}{2^{5/2}} \right)$.

Заметим, что второй член-поправка здесь лишь потому, что мы считали газ не совсем классическим — он является поправкой к классическому выражению для энергии, даваемую первым членом(кстати, как бы лучше обосновать корректность такого перехода? есть некоторые сомнения -- см. вопрос ниже). А классическую энергию идеального газа знаем — $\frac32 NT$.

Отсюда можно получить классический хим. потенциал и подставить его в поправку. Получим правильную величину последней, но неправильный знак -- ясно, что давление, а значит и энергия, ферми-газа должна возрасти при вырождении.

В ландавшице правильный знак получается вычислением поправки к давлению, которая, ввиду $PV=\frac23 E$, с точностью до коэффициента, то же, что и для энергии, и подстановкой этой поправки в $\Omega = -PV$. Этот минус выправляет неправильный знак. А дальше по теореме о малых добавках эту поправку можно и на другие величины. Малой добавкой здесь считаем неклассический вклад.

3. Рассмотрим поправки к термодинамическим величинам сильно вырожденного ферми-газа. Почему поправки к $\Omega$ и F имеют знак, отличный от поправки к энергии(58 параграф Ландау и Лившица)?

/Уже конкретно по 58 параграфу ландавшицу/
Мне также выглядит крайне подозрительным переход к свободной энергии. Действительно, формула (58.1) -- вычисление интеграла с энергией -- получается при малой, но отличной от нуля температуре. Так что в следующей формуле для $\Omega$ $\Omega_0 \sim \mu^{5/2}$. $\mu$, а не $\mu_0$. В поправке к $\Omega$ заменить хим. потенциал на энергию Ферми правомерно, т.к. поправки к хим. потенциалу так дадут члены высших порядков малости для $\Omega$. А в $\Omega_0$ почему это себе позволяют? Поправка к хим. потенциалу пропорциональна $T^2$, так что поправка к $\Omega_0$ имеет тот же порядок, что и второй член в (58.2). Почему же за $\Omega_0$ берут $\Omega$ при абсолютном нуле?

[vanger]

3++. С вопросом из первого абзаца я сообразил -- энтропия растёт -- теорема о малых добавках для пары свободная энергия и энергия не применима.

Ответ на вопрос из второго абзаца вида: "Учёт квантовости — это внешняя добавка, где внешний параметр — величина заботы о квантовых поправках, так что приращение $\Omega$ берётся при постоянном хим. потенциале — том, что при абсолютном нуле" ничего так, но полностью сомнений не рассеивает — этот аргумент тонкий. Что не так с бесхитростным вычислением $\Omega_0(\mu) = \Omega_0(\mu_0 - CT^2)$?

Аргумент про "внешнедобавочность" квантовых поправок очень красивый и, кстати, отвечает на второй вопрос. Т.е. пишем выражение для $\Omega$, говорим: "Внимание! Сейчас включим квантовость. Это можно рассматривать как добавку, вызванную внешним параметром" и при постоянном хим. потенциале(эффект-то объявлен внешним) считаем. А если объявления не было? Если мы "не знали, что он внешний" и честно посчитали?

[vanger]

1. С этим разобрался. $\Omega = F + \mu N$, т.е. тоже энергия плюс что-то, а потому среди других потенциалов ничем не выделено — все они немного энергии. И с $\Omega = -\frac23 E$ ничего страшного -- ведь чтобы в добавке осталось лишь $d\Lambda$ их надо варьировать при разных условиях, так что лишь из по этому уравнению о добавкая судить нельзя.

В общем-то остался третий вопрос: почему допустимо рассматривать квантовую добавку к $\Omega$ как внешнюю, и, потому, считать её при постоянном хим. потенциале? Почему бы для поправки не откусить кусочек от $\Omega_0$?

[vanger]

Я разобрался.

"Степень заботы о квантовости" формально:

Когда мы считаем поправки(например, в случаях выше -- слабое вырождение, связанное с квантовостью и конечность температуры), мы, фактически, строим отображение из отрезка $[0,1]$ в "пространство описаний теории", где 0 -- то, что умеем описывать, 1 -- то, что хотим описать, и "раскладываем в ряд Тейлора" по параметру. На деле -- какое-то число в функции распределения.

В первом примере выше это может быть множитель $\alpha$ перед второй экспонентой(0 -- нет квантовых эффектов, 1 -- есть):
$e^{\frac{\mu - \varepsilon}{T}} - \alpha e^{2 \frac{\mu - \varepsilon}{T}}$.

Во втором -- в функции распределения $\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon - \mu}{\alpha T}}+1}$. Этот пример менее очевиден, т.к. сразу провести разложение по $\alpha$ в функции распределения нельзя(ну, или из физических соображений написать функцию Хевисайда плюс что-то). Но ясно, что $\alpha=0$ физически соответствует описанию при нуле температуры. И разложение по $\alpha$ мы получим лишь при вычислении интеграла.

При таком подходе инородность поправки явна. При вычислении поправок к термодинамическим потенциалам надо помнить, от чего они зависят явно. Т.е. если мы считаем поправку к энергии, то при изменении параметра $\alpha$ хим. потенциал нельзя считать постоянным, а при вычислении поправки к омега-потенциалу можно(и необходимо!).

Эта тонкость меня и смущала: интеграл считаем один и тот же, но когда интерпретируем его как интеграл для омега-потенциала про изменение \mu забываем, а когда для энергии -- вынуждены вспомнить. Фактически, это перефразирование замечания про разность условий вариации.

Можно и так на это посмотреть. Есть функция $f[x(t)]$. В случае выше $f=\Omega$, $x=\mu$, $t=\alpha$. Разлагаем сложную функцию по $t$:
$f[x(1)] \approx f[x(0)] + f'[x(0)] x'(0)$.
Желание $\mu$ вместо $\mu_0$ в $\Omega_0$ эквивалентно желанию $f[x(1)]$ в первом члене правой части равенства вместо $f[x(0)]$. Эта эквивалентность была не очевидна пока не стало понятно "по какому параметру раскладываем теорию".

(Оффтоп)

[vanger]

Добавлю, для полноты, что в случае сильно вырожденного ферми-газа(пример из третьего вопроса) математически не так всё хорошо, как в случае со слабым вырождением: разложения по $\alpha$ вида: $A + B\alpha$ не получается(более того, сделав замену переменных в интеграле, можно избавиться от зависимости от $\alpha$ во втором члене(как и во всех последующих! т.е. можно сказать, что от a вообще ничего не зависит и "разложения теории по параметру" не вышло)), но получается сумма $A+B$, где $A$ от $\alpha$ не зависит, а $B(0)=0$. Корректность считать, что B стремится к нулю следует, например, из того, что физически интеграл до бесконечности можно и обрезать где-то далеко и дать-таки малому параметру в числителе победить экспоненту в знаменателе. При таком обрезании при $\alpha \rightarrow 0$ получается $A+B\alpha^2$ + C\alpha^4 + \dots. $B \sim T^2$, $C \sim T^4$ и т.п. Это всё и позволяет говорить, что B -- поправка по температуре в районе абсолютного нуля.