математическая индукция и сигма-алгебра

[Otta]

Tigran-aminator в сообщении #738577 писал(а):

Otta

Вот утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с $n + 2$ сторонами равна $180n$»

Важное уточнение: для всех натуральных $n$.
Так оно звучит полностью.

Вот и давайте смотреть. Как Вам удобнее смотреть, на отрезках? Или? у меня там еще потом пример был.

[Xaositect]

Tigran-aminator в сообщении #738577 писал(а):

Otta

Вот утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с $n + 2$ сторонами равна $180 *n$»

Вот в этом утверждении явно фигурирует произвольное конечное $n$.
И в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любых $n$ множеств алгебры принадлежит алгебре" тоже есть произвольное конечное $n$.
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого $n$ нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

[Otta]

Xaositect в сообщении #738579 писал(а):

Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого $n$ нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

На самом деле, это в точности то, что я хотела сказать.
Только подкрепив примером. Если еще осталась необходимость - пожалуйста.

[Xaositect]

Otta в сообщении #738581 писал(а):

На самом деле, это в точности то, что я хотела сказать.

Ну это то, чего я хотел добиться от топикстартера просьбой сформулировать, а что он, собственно, доказал.
Но, видимо, у него пока нет навыка строго формулировать все, что утверждается.

[Otta]

Xaositect в сообщении #738583 писал(а):

Ну это то, чего я хотел добиться от топикстартера просьбой сформулировать, а что он, собственно, доказал.
Но, видимо, у него пока нет навыка строго формулировать все, что утверждается.

Не знаю, в чем там проблема. Если бы он хоть раз порисовал, то, что сам утверждает, пощупал бы ручками, глядишь, и вопросы бы снялись.

[Tigran-aminator]

Otta
Xaositect

Сейчас я обратил внимание, что во всех утверждениях подобного типа подразумевается зафиксированное значение n, поэтому этот пример не аналогичен бесконечному объединению событий. С этим все ясно, теперь.

Осталось понять вот этот кусок

Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

-- 20.06.2013, 01:47 --

Xaositect, вы говорили про "объединением всех (переход к предельному ординалу)" об этом слышу в первый раз. Получается что с предельным переходом у меня проблемы.

Otta, Xaositect благодарю за потраченное время, кое-что я понял

[Otta]

Tigran-aminator в сообщении #738587 писал(а):

Осталось понять вот этот кусок
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

Это утверждение не зависит ни от какого $n$. Взяли, объединили счетное число множеств. Получили нечто. Индукция тут ни при чем, так как это нечто - это какое-то множество, от $n$ не зависящее.

А что утверждение неверное - это отдельный вопрос. Вообще говоря, неверное, объединение счетного числа элементов алгебры не обязано ей принадлежать. Для сигма-алгебр оно должно выполняться по определению, иначе это не сигма-алгебра.

[svv]

Рискну сформулировать непонятку Tigran-aminator. Жаль, что я немного опоздал.

Пусть $\mathbb N_{1,n}$ обозначает множество натуральных чисел от $1$ до $n$ включительно. Можно написать: $\mathbb N_{1,n}=\cup_{k=1}^{n} \{k\}$.
Допустим, что число $1$ принадлежит некоторому множеству $P$. Тогда $\mathbb N_{1,1}\subset P$.
Допустим, что если $\mathbb N_{1,n}\subset P$, то $\mathbb N_{1,n+1}\subset P$.
По индукции мы можем доказать, что $(\forall n\in \mathbb N)\;\;\mathbb N_{1,n}\subset P$.
Теперь вопрос. Доказывает ли последнее утверждение, что $\cup_{k=1}^{\infty} \{k\}=\mathbb N\subset P$ ?

Если доказывает, то кто позволил внезапно написать счётное объединение?
Если не доказывает, то каким образом мы можем прийти к этому абсолютно очевидному выводу, $\mathbb N\subset P$ ?

[Otta]

svv в сообщении #738594 писал(а):

принадлежит некоторому множеству P

А пусть $P$ - система множеств, состоящих из конечного числа элементов. Для определенности.

(Оффтоп)

svv
Мне кацца, для этой ветки будет лучше писать $\in$ вместо $\subset$.

[svv]

(Оффтоп)

Otta писал(а):

$\in$

Мне будет стыдно перед Xaositect.

[Tigran-aminator]

svv

Как я понял из всего выше сказанного, не доказывает, а вот как доказать $\mathbb N\subset P$ , я не могу придумать

[Otta]

Насколько я понимаю, svv пытался донести до нас (и до Вас), возможную проблему в Вашем восприятии определения сигма-алгебры. Знак принадлежности $\in$ и знак включения $\subset$ - не одно и тоже.

Так вот его утверждение - верно. Это доказать легко. Но оно не имеет ничего общего с тем, что Вам нужно доказать. А нужно доказать, что все эти множества $\in P$. А это верно вовсе не для всех $P$. Скажем, для этого

Otta в сообщении #738595 писал(а):

А пусть $P$ - система множеств, состоящих из конечного числа элементов. Для определенности.

очевидно, неверно.