математическая индукция и сигма-алгебра

[Tigran-aminator]

Не могу понять почему когда дается определение сигма-алгебры, дополнительно требуют что-бы счетное объединение событий принадлежало алгебре? Почему в учебниках говориться, что имея требование в принадлежности алгебре любых двух событий, можно с помощью математической индукции получить принадлежность события полученного любым но, конечным числом объединений событий? Почему математической индукцией нельзя получить принадлежность счетного числа объединений?

То что можно привести пример, когда алгебра множеств не является сигма-алгеброй, я знаю (нашел в этом форуме).

[Otta]

Видимо, Вы не очень хорошо представляете себе возможности принципа математической индукции. Как она это, по-Вашему, должна сделать?

[SpBTimes]

Tigran-aminator
Предельный переход, я вам скажу, действие дорогое.

[Tigran-aminator]

Otta

Я себе это представляю следующим образом. Итак у нас есть что утверждение выполняется для 1 события и пусть выполняется для объединение n событий, получающееся событие пусть будет А. Возьмем событие, А и еще В, которое то же принадлежит алгебре. Имеем два события А и В, и они принадлежат алгебре, значит и их объединение должно принадлежать алгебре. Получили что исходное утверждение выполняется и для n+1, в предположении что исходное утверждение верно для n. И так далее...
Где тут ошибка?

[Xaositect]

В доказательстве ошибки нет. А теперь запишите формально, что именно мы этим доказательством доказали.

[Tigran-aminator]

Xaositect

Вот моя версия (прошу прошения за оформление): для любой последовательности множеств, из того что каждый элемент этой последовательности множеств принадлежит алгебре, следует что и их объединение принадлежит алгебре. А это и и есть усиленное дополнительно требование к сигма-алгебре, к моему сожалению

[Otta]

Tigran-aminator
Сейчас. Пусть у нас есть отрезки. Отрезок $\Delta_k$ пересекается с отрезком $\Delta_{k+1}$ для всех $k$. То есть первый - со вторым, второй - с третьим и т.д. Понятно, как устроено, да? Нарисуйте на всякий случай.

Покажем что любое конечное объединение $A_n=\cup_{k=1}^n \Delta_k$ - отрезок. Для всех $n$.
Наглядно это очевидно. Можно показать по индукции. Действительно, $A_1$ - отрезок, объединение двух отрезков $A_2$ - отрезок, а если предположить, что объединение $n$ отрезков $A_n$ - отрезок, то объединение $n+1$ отрезка $A_{n+1}=A_n\cup\Delta_{n+1}$ - представлено в виде объединения 2 пересекающихся отрезков, и значит (см. выше) - отрезок.

Таким образом, по индукции мы доказали, что любое конечное объединение наших отрезков - отрезок.

Все. Это все, на что способна индукция. Что может происходить для бесконечного объединения, можно посмотреть, объединив все $\Delta_k=[k,k+1]$ .

[arseniiv]

Tigran-aminator в сообщении #738542 писал(а):

следует что и их объединение принадлежит алгебре

Их — это кого? Важно.

[Tigran-aminator]

Otta

Если я Вас, правильно понял, то наверно Вы бы хотели от меня услышать, что бесконечно объединение отрезков дает луч а не отрезок. Я прав?

Если да, то возможно я не понимаю как слова передают мысль, а конкретнее почему есть разница между "любое конечное объединение - отрезок. Для всех n ." и то что мы пытаемся объединить бесконечное число отрезков,ведь для это же мы опять используем все возможные n.

-- 20.06.2013, 00:47 --

arseniiv

Их - это события А и В.

[arseniiv]

Здесь нет A и B:

Tigran-aminator в сообщении #738542 писал(а):

Вот моя версия (прошу прошения за оформление): для любой последовательности множеств, из того что каждый элемент этой последовательности множеств принадлежит алгебре, следует что и их объединение принадлежит алгебре. А это и и есть усиленное дополнительно требование к сигма-алгебре, к моему сожалению

Доказать для последовательности любой конечной длины не означает доказать для бесконечной. Мощность множества натуральных чисел не конечна.

[Otta]

Tigran-aminator в сообщении #738561 писал(а):

Если да, то возможно я не понимаю как слова передают мысль, а конкретнее почему есть разница между "любое конечное объединение - отрезок. Для всех n ." и то что мы пытаемся объединить бесконечное число отрезков,ведь для это же мы опять используем все возможные n.

Сложный вопрос. Мы говорим на разных языках, поэтому имейте терпение.
Разница - в процедуре и в результате. Во всем разница. Объединить счетное число множеств - это именно объединить счетное число, а не сколь угодно много раз - конечное. И тогда может получиться именно луч, да, который Вы совершенно не планировали и который при конечном объединении никогда не получается.

Одно дело $B_n=\cup_{k=1}^{n} \{k\}$. Это при любом $n$ конечное множество, содержащее $n$ элементов. И совсем другое $B_\infty=\cup_{k=1}^{\infty} \{k\} =\mathbb N$.

[Tigran-aminator]

arseniiv

Так вот и основа моего непонимания, я не понимаю почему из того что мы доказали для последовательности любой конечной длины, то это не означает доказать для бесконечной. Вы почему то говорите о мощности натурального ряда, но как это влияет на доказуемость? Ведь, натуральный ряд получается прибавлением n+1.



Еще Вот цитата из книги Р. Куранта "Что такое математика"

Что касается математической индукции, то она применяется иным,
отличным способом с целью установления истинности математической
теоремы в бесконечной последовательности случаев (первого, второго,
третьего и так далее — без всякого исключения). Обозначим через A
некоторое утверждение, относящееся к произвольному натуральному
числу n. Пусть A будет хотя бы такое утверждение: «Сумма углов в
выпуклом многоугольнике с n + 2 сторонами равна 180 · n». Или еще:
обозначим через A0 утверждение: «проводя n прямых на плоскости,
нельзя разбить ее больше чем на 2n частей». Чтобы доказать подобного
рода теорему для произвольного значения n, недостаточно доказать
ее отдельно для первых 10, или 100, или даже 1000 значений n. Это
как раз соответствовало бы принципу эмпирической индукции. Вме-
сто того нам приходится воспользоваться строго математическим и
отнюдь не эмпирическим рассуждением; мы уясним себе его характер
на частных примерах доказательства предложений, которые мы обо-
значили через A и A0. Остановимся на предложении A. Если n = 1,
то речь идет о треугольнике, и мы знаем из элементарной геометрии,
что сумма углов такового равна 180 · 1. В случае четырехугольника,
(n = 2) мы проводим диагональ, разделяющую четырехугольник на
два треугольника, и тогда сейчас же становится ясно, что сумма
углов четырехугольника равна сумме углов в двух треугольниках,
именно равна 180 + 180 = 180 · 2. Обращаясь к случаю пятиугольника
(n = 3), мы разбиваем его таким же образом на четырехугольник
и треугольник. Так как первый из названных многоугольников по
доказанному имеет сумму углов 180 · 2, а второй — 180 · 1, то всего
в случае пятиугольника мы получаем сумму углов 180 · 3. И теперь
нам уже становится ясно, что рассуждение может быть продолжено
совершенно таким же образом неограниченно. Мы докажем теорему
для случая n = 4, затем для случая n = 5, и т. д. Как и раньше,каждое следующее заключение неизбежно вытекает из предыдущего, и
теорема A оказывается установленной при произвольном значении n.
Так же обстоит дело и с предложением A0. При n = 1 оно, очевидно,
справедливо, так как всякая прямая делит плоскость на 2 части. Прове-
дем вторую прямую. Каждая из двух прежних частей разобьется в свою
очередь на две части — при условии, что вторая прямая непараллельна
первой. Но, как бы то ни было, в случае n = 2 всего окажется не более 4 =
22 частей. Добавим еще третью прямую. Каждая из уже имеющихся
частей или будет разбита на две части, или останется нетронутой. Таким
образом, число вновь полученных частей не превысит 22 · 2 = 23. Считая
это установленным, мы точно так же перейдем к следующему случаю
и т. д.—без конца.
Сущность предыдущего рассуждения заключается в том, что, желая
установить справедливость некоторой общей теоремы A при любых зна-
чениях n, мы доказываем эту теорему последовательно для бесконечного
ряда специальных случаев A1, A2, . . . Возможность этого рассуждения
покоится на двух предпосылках: а) имеется общий метод доказатель-
ства того, что если справедливо утверждение Ar, то следующее по по-
рядку утверждение Ar+1 также справедливо; б) известно, что первое
утверждение A1 справедливо. В том, что эти два условия достаточны
для того, чтобы справедливость всех утверждений A1, A2, A3, . . . была
установлена, заключается некоторый логический принцип, имеющий в
математике столь же фундаментальное значение, как и классические
правила аристотелевой логики.

Почему в случае с треугольниками такое позволительно а с множествами нет?

[Otta]

Tigran-aminator в сообщении #738572 писал(а):

Почему в случае с треугольниками такое позволительно а с множествами нет?

Какое такое? Сформулируйте, пожалуйста, доказываемое там утверждение.

[Xaositect]

Tigran-aminator в сообщении #738572 писал(а):

Так вот и основа моего непонимания, я не понимаю почему из того что мы доказали для последовательности любой конечной длины, то это не означает доказать для бесконечной. Вы почему то говорите о мощности натурального ряда, но как это влияет на доказуемость? Ведь, натуральный ряд получается прибавлением n+1.

Вот тут как раз и проблема.
Натуральный ряд не получается прибавлением +1. Он получается другой операцией - объединением всех $n$ (переход к предельному ординалу)

Доказательство по индукции как строится? Пусть для $n$ доказано, давайте возьмем $n+1$, выкинем один и применим уже доказанное.
А теперь пусть у нас есть бесконечная последовательность. Мы ее взяли, выкинули один элемент, а осталась-то все равно бесконечная последовательность!
То есть в индукции мы сводим следующий случай к более простому. А при применении этого приема к бесконечной последовательности мы можем свести наш случай только к нему же самому, что нам, естественно, ничего не дает.

[Tigran-aminator]

Otta

Вот утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с $n + 2$ сторонами равна $180 *n$»

Сейчас я обратил внимание, что во всех утверждениях подобного типа подразумевается зафиксированное значение n, поэтому этот пример не аналогичен бесконечному объединению событий.