Можно ли интегрировать по частям выражение?

[DLL]

Пусть
$g(t)$ - сильно непрерывно дифференцируемая функция со значениями в банаховом пространстве $\mathcal{B}$,
$A(t)$ - сильно дифференцируемый оператор в каждой точке отрезка $[0,T]$ (без всяких предположений о непрерывности производной), действующий в банаховом пространстве $\mathcal{B}$.

Можно ли интегрировать по частям выражение $\int_0^T dA/dt g(t) dt$?

[Oleg Zubelevich]

а по-вашему как формула $\frac{d}{dt}(Ag)=\dot Ag+A\dot g$ верна или нет?

[DLL]

Верна, конечно. По определению сильной дифференцируемости оператора.
Но теперь необходимо к левой части применить формулу Ньютона-Лейбница, вот и возникает вопрос в ее правомочности.

[Oleg Zubelevich]

помнится, литературу по данному вопросу я вам уже называл

-- Ср июн 19, 2013 15:12:50 --

вообще это довольно банальное упражнение

пусть $X$ -- банахово пространство

Теорема. $\int_a^b\dot x(t)dt=x(b)-x(a),\quad x(t)\in C^1([a,b],X)$

[DLL]

Проблема в том, что здесь нету $C^1$, оператор $A(t)$ является сильно дифференцируемым в каждой точке, но производная вообще говоря не является сильно непрерывной.

Кроме того, формула которую вы привели в первом сообщении будет выполняться (почти всюду), если и производная будет существовать почти всюду, а вот формула Ньютона-Лейбница нет.

Что касается обычной числовой функции, если производная существует в каждой точке и ограничена, то отсюда с помощью теоремы о среднем (там не требуется непрерывность производной) можно сразу же доказать абсолютную непрерывность числовой функции, откуда уже будет следовать возможность применять формулу Ньютона-Лейбница.

А вот для операторной функции мне непонятно как доказать аналогичное утверждение, потому что для векторных функций теорема о среднем значении неприменима.

[Oleg Zubelevich]

DLL в сообщении #738649 писал(а):

Проблема в том, что здесь нету $C^1$, оператор $A(t)$ является сильно дифференцируемым в каждой точке, но производная вообще говоря не является сильно непрерывной.

можно попробовать действовать так.
Предположим, что функция $w(t)=(\xi,x(t))$ абсолютно непрерывна для любого $\xi\in X'$, и в каждой точке отрезка существует производная $\dot x(t)$. Тогда верна формула

$$\int _a^{t'}\dot w(t)dt=w({t'})-w(a),\quad {t'}\in[a,b]\qquad (*)$$

но в силу непрерывности $\xi$ эта формула эквивалентна следующей $(\xi,\int_a^{t'}\dot x(t)dt-x({t'})+x(a))=0$
Значит $\int_a^{t'}\dot x(t)dt-x({t'})+x(a)=0$
Еще нужно какое-то условие, что бы формула (*) выполнялась для всех $t'$, а не только для почти всех. Впрочем, может это уже следует из написанных условий, надо подумать.

[DLL]

Идею понял. Спасибо.