Однородное уравнение

[Wingman]

Помогите пожалуйста, нужно срочно разобраться с таким уравнением, вроде бы однородным. (Найти сумму корней.)

$$(x + 9)^2 - 5x \sqrt {3x-2}= 93$$

ОДЗ: $$x \ge \frac{2}{3}

Возвожу в квадрат $(x + 9)$, переношу всё в левую часть, группирую:

$$ 6(3x-2)- 5x \sqrt {3x-2} + x^2= 0$$

Делю все на $x^2$, ввожу замену $t=\frac{\sqrt {3x-2}}{x}$:

$$6t^2 - 5t +1= 0$$

Решаю: $t = \frac{1}{2}$, $t = \frac{1}{3}$

To есть:

$$\frac{\sqrt {3x-2}}{x}= \frac{1}{2}$$

или

$$\frac{\sqrt {3x-2}}{x}= \frac{1}{3}$$

Получаются 2 квадр. уравнения:

$$x^2 - 12x + 8 = 0$$

или

$$x^2 - 27x + 18 = 0$$

Корни такие получились:

$$x = 6 + \sqrt{28}$$

или

$$x = \frac{27 + \sqrt{657}}{2}$$

или
а в ответе должно быть целое число(Найти сумму корней.)!
Заранее спасибо за помощь.

[Otta]

Wingman в сообщении #737863 писал(а):

а в ответе должно быть целое число!

Прямо-таки число? А что спрашивают в задаче? Вопрос?

[svv]

Корни красивыми не будут, только сумма.
Как найти сумму корней, не решая уравнение? зачёркнуто

[Wingman]

Цитата:

Корни красивыми не будут, только сумма.
Как найти сумму корней, не решая уравнение?

Понимаю, о чем вы (теорема Виета), но есть ведь еще ОДЗ.

[svv]

А я успел зачеркнуть чуть раньше!

[Otta]

Wingman в сообщении #737863 писал(а):

(Найти сумму корней.)

Вот. А она целая.

Кстати, почему у Вас корни получились только такие?

[Wingman]

Otta в сообщении #737873 писал(а):

Wingman в сообщении #737863 писал(а):

(Найти сумму корней.)

Вот. А она целая.

Кстати, почему у Вас корни получились только такие?

Целая? Это как?

Какие корни могут быть еще? Те, что с минусами, не вошли в ОДЗ, осталось 2 корня из 4-х возможных. Нет?

[Otta]

Wingman в сообщении #737875 писал(а):

Те, что с минусами, не вошли в ОДЗ,

Почему Вы так решили?

Все 4 корня, которые здесь получаются, входят в ОДЗ, и это совсем очевидно. Вы неправильно относитесь к иррациональным уравнениям. Вы определяете ОДЗ и считаете, что этого достаточно? Для чего? для того, чтобы число можно было подставить под корень, достаточно. Но Вы же решаете их возведением в квадрат. А это неравносильное преобразование, при котором приобретаются лишние корни, вообще говоря. И чтобы они не приобретались, обе части обязаны быть одного знака. И раз уж у Вас левая часть (корень) неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна. Это надо требовать, и это более жесткое условие, чем Ваше ОДЗ.

Действительно, уравнение $\sqrt{3x-2}=x/2$ равносильно Вашему следующему, $3x-2=x^2/4$ только при $x\ge 0$. Но заметьте! что при этом для всех решений Ваше условие $3x-2\ge 0$ выполняется автоматически, справа - число неотрицательное. Поэтому на самом деле, вместо $3x-2\ge 0$ надо требовать $x\ge 0 $, в сочетании с полученным квадратным уравнением. (Условие для ОДЗ при этом выполнится само.) А выполнение этого условия, $x\ge 0 $, очевидно для всех корней.

[Wingman]

Otta в сообщении #737877 писал(а):

Wingman в сообщении #737875 писал(а):

Те, что с минусами, не вошли в ОДЗ,

Почему Вы так решили?

Спасибо, Otta, разобрался.