Заземленный шар и два заряда

[monkeymind]

Условие задачи:

Два одинаковых точечных электростатических заряда величиной q каждый находятся на расстоянии L друг от друга. Какого радиуса заземленный проводящий шар следует поместить между ними чтобы система находилась в равновесии?

Что я пытался сделать:

Я пытался найти методом изображений систему зарядов (1 заряд и 2 заряда) которые бы соответствовали наведенному на шаре заряду. Затем по закону Кулона получаем уравнения для сил. Но для обоих решений получил радиус больший L, что как-то немного не увязывается с физическим смыслом.

Суть вопроса: Я не совсем улавливаю метод изображений, и видимо ошибка именно из-за этого. Есть ли другие доступные методы решения этой задачи?

[Munin]

monkeymind в сообщении #737566 писал(а):

Я пытался найти методом изображений систему зарядов (1 заряд и 2 заряда) которые бы соответствовали наведенному на шаре заряду. Затем по закону Кулона получаем уравнения для сил. Но для обоих решений получил радиус больший L, что как-то немного не увязывается с физическим смыслом.

Чтобы вам помогли найти ошибку в выкладках, приведите выкладки. Формулы наберите с помощью $\LaTeX.$

monkeymind в сообщении #737566 писал(а):

Суть вопроса: Я не совсем улавливаю метод изображений, и видимо ошибка именно из-за этого. Есть ли другие доступные методы решения этой задачи?

Есть, гораздо более сложные. Оно вам надо? :-)

[nikvic]

Munin в сообщении #737584 писал(а):

Есть, гораздо более сложные.

А что, у задачи есть хорошее точное решение?

[lucien]

Есть, метод изображений.

[DimaM]

monkeymind в сообщении #737566 писал(а):

Я пытался найти методом изображений систему зарядов (1 заряд и 2 заряда) которые бы соответствовали наведенному на шаре заряду. Затем по закону Кулона получаем уравнения для сил. Но для обоих решений получил радиус больший L, что как-то немного не увязывается с физическим смыслом.

Где-то ошибка.

Попробуйте вначале заземленный шар радиуса $R$ и один заряд на расстоянии $L$ от центра шара.
1. Найдите величину заряда-отражения (подсказка: рассмотреть потенциал в центре шара).
2. Найдите, куда этот заряд надо поместить (можно рассмотреть равенство нулю потенциала в точке на прямой, проходящей через центр шара и внешний заряд).
3. Найдите силу притяжения заряда к шару.

После этого добавить второй заряд довольно просто.

[nikvic]

lucien в сообщении #737596 писал(а):

Есть, метод изображений.

Задав радиус, нетрудно найти заряд шара. Но этого мало для силы, с которой он действует на заряд 1.

[Munin]

Силу для шара можно искать как силу для мнимого заряда - изображения.

[DimaM]

Есть ощущение, что от $q$ искомый радиус зависеть не будет.

[nikvic]

DimaM в сообщении #737688 писал(а):

Есть ощущение, что от $q$ искомый радиус зависеть не будет.

Ну, это-то легко доказывается: удвоив зарядики, удвоим и плотности.

[monkeymind]

Munin в сообщении #737672 писал(а):

Силу для шара можно искать как силу для мнимого заряда - изображения.

Это понятно. Собственно в этом и суть - найти эти заряды, чтоб посчитать уже по закону Кулона силы.

Как рассуждал: Я предположил, что будет два фиктивных заряда (как на рисунке) http://hostingkartinok.com/show-image.p ... 0b074dbedd где нас интересует Х и величина этих q*. Я так понимаю, что заряд накапливается только на поверхности шара поэтому, что шар что сфера нам глубоко начхать. Помещаем эти два заряда туда куда помещаем и пишем уравнения для потенциала в крайних правой и верхней точек нашей, уже, сферы (потенциал равен в обеих точках равен нулю). 2 уравнения - 2 неизвестных. => $$X = \frac{2R^2}{L}$ ; $q* = -q \frac{2R}{L}$.
И казалось бы - вот оно счастье! Но хрен там! При написании уравнений для сил получаем уравнения для R !восьмой! степени и просто заменой не решить. Никак не решить.

Что делать?

[nikvic]

Если дело только в этом, то введите сумму наведённых зарядов, посчитайте потенциал центра сферы и приравняйте его нулю.
====
Кажется, понял: физическая задача на инверсию относительно окружности...

[DimaM]

nikvic в сообщении #737706 писал(а):

Кажется, понял: физическая задача на инверсию относительно окружности...

Ага. Отражение - в точке инверсии.

[DimaM]

monkeymind в сообщении #737702 писал(а):

При написании уравнений для сил получаем уравнения для R !восьмой! степени и просто заменой не решить. Никак не решить.

Что делать?

Думаю, надо показать преподавателю полученные уравнения и задать этот же вопрос ему.

Численно получается $R/2L\approx 0.39$.

[nikvic]

Во, нашёл почти решение - http://bookzie.com/book_755_glava_161_8 ... ENNYE.html

[DimaM]

nikvic в сообщении #737810 писал(а):

Во, нашёл почти решение

Дык, отражения расставить - не вопрос. Там дальше и вправду уравнение восьмой степени вылезает...