диск

[Oleg Zubelevich]

Однородный диск массы $m$ и радиуса $r$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega\frac{\overline{AB}}{|AB|}$ вокруг невесомого покоящегося стержня $AB$. $S$ -- центр диска, $AS=SB=l$. Стержень перпендикулярен плоскости диска.
Конец стержня $A$ закреплен в идеальном шарнире, а конец $B$ подвешен с помощью нити так, что стержень расположен горизонтально.
Какова реакция в шарнире $A$ сразу после того, как нить обрезали? (И.Л. Антонов)

[Oleg Zubelevich]

Чуть более олимпиадная задача



все тоже самое, только теперь диск подвешен на двух нитях. Найти натяжение левой нити сразу после того, как правую перерезали, если до перерезания углы между нитями и стержнем $AB$ были одинаковы и равны $\alpha$.

[kw_artem]

(Оффтоп)

В первой задаче для реакции $R_A$ в шарнире $A$ получилось:

$$R_A=mg\sqrt{1+g^2 \left(\frac {4l^3}{\omega^2r^4}\right)^2}$$

[Oleg Zubelevich]

выходит, если $\omega\to 0$ то реакция стремится к бесконечности. это неверно

[warlock66613]

Первая задача. У меня получилось
$\frac {r^2} {r^2 + 4l^2}mg$
От $\omega$ не зависит.

[Oleg Zubelevich]

да, вроде похоже, только сила это всетаки вектор

[Omega]

Каким образом поступать в первой задаче вполне ясно, а вот как же быть во второй - нет.
Так благодаря каким соображениям получить ответ ко второй задаче?

[Oleg Zubelevich]

План решения второй задачи.

Записываем уравнения движения диска сразу после перерезания правой нити: $J_S\dot{\overline \omega}+[\overline \omega , J_S\overline\omega]=\overline M_S,\quad m\dot{\overline v}_S= m\overline g+\overline T,\quad \overline M_S=[\overline{SA},\overline T]$ где $\overline T$ -- сила натяжения левой нити.
Кроме того имеется связь:

$$(\overline v_A,\overline T)=0.$$

Продифференцируем это уравнение по времени: $(\dot{\overline v}_A,\overline T)+(\overline v_A,\dot{\overline T})=0$
В первое мгновение после перерезания нити $\overline v_A=0$ поэтому $(\dot{\overline v}_A,\overline T)=0$ -- сразу после того, как нить перерезали.
По формуле Ривальса $\dot{\overline v}_A=\dot{\overline v}_S+[\dot{\overline \omega},\overline{SA}]+[\overline\omega,[\overline\omega,\overline{SA}]]$. Однако в момент перерезания нити векторы $\overline\omega, \overline{SA} $ параллельны, поэтому окончательно получаем:

$$(\dot{\overline v}_S+[\dot{\overline \omega},\overline{SA}],\overline T)=0\qquad (*)$$

Введем неподвижную декартову систему координат с началом в точке $S$, ось $Z$ направлена верикально вверх, а ось $Y$ проходит слева направо вдоль стержня $AB$, когда он еще покоился. Ось $X$ направлена на нас.
В пероваый момент после перерезания нити $J_S=\mathrm{diag}(I,J,I),\quad \overline \omega=\omega\overline e_y$ поэтому $[\overline \omega , J_S\overline\omega]=0.$

Таким образом , в первое мгновение после перерезания нити кроме уравнения (*) мы имеем еще

$$J_S\dot{\overline \omega}=\overline M_S,\quad m\dot{\overline v}_S= m\overline g+\overline T\quad (**)$$

где $\overline T=T\cos\alpha \overline e_y+T\sin\alpha \overline e_z$.
Искомой величиной является $T$. Она находится из системы (*),(**) -- 7 уравнений, 7 неизвестных: $T,\dot{\overline \omega},\dot{\overline v}_S$. Расписываем по указанной системе координат и решаем.