Непрерывность норм

[Foreman Jay]

Здравствуйте! Нужна помощь касательно норм. Правильно ли я понимаю, что любая норма на конечномерном линейном пространстве непрерывна? И что $\|\cdot\|$ непрерывна на $X \;\Leftrightarrow\;\forall x_0\in X\;\;\forall \varepsilon>0\;\;\exists \delta>0\; : \;\big(\|x-x_0\|<\delta\big) \Rightarrow \big(\big|\|x\|-\|x_0\|\big|<\varepsilon\big) $ ? Какова идея доказательства?

[iifat]

Как-то не задумывался раньше... Мож, неравенство треугольника попробовать как-нибудь?

[Foreman Jay]

Да, кажется слышал, что именно оно и нужно. Но как связать его с определением непрерывности?

[iifat]

Ну, напишите одно над другим. Подумайте, как подставить переменные, чтоб они стали как можно более похожи.

[Foreman Jay]

Неравенство треугольника: $\|x_1+x_0\|\le\|x_1\|+\|x_0\|$
Из условия непрерывности: $\|x-x_0\|<\delta\Rightarrow \big|\|x\|-\|x_0\|\big|<\varepsilon$
Скажем, замена $x_2=-x_0$. $\|x+x_2\|<\delta\Rightarrow \big|\|x\|-\|x_2\|\big|<\varepsilon$
Ничего не даёт... Не выходит, потому что в неравенстве треугольника только плюсы, в непрерывности, минус, а константы из-под нормы выносятся с модулем.

[Otta]

Foreman Jay
$\|a-b\|\ge|\|a\|-\|b\||$. Следует из неравенства треугольника. Докажите.

[Foreman Jay]

$\|a\|=\|b+(a-b)\|\le\|b\|+\|a-b\|$, точно, спасибо!

[ewert]

Foreman Jay в сообщении #731818 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что любая норма на конечномерном линейном пространстве непрерывна?

Правильно ли Вы понимаете вопрос? Непрерывна именно относительно самой себя? Если да, то действительно просто по неравенству треугольника и, соответственно, в любом пространстве, не обязательно конечномерном. А вот если относительно любой другой нормы, то это вопрос уже более сложный.

[Foreman Jay]

А как понимать непрерывность одной нормы относительно другой? Что можно сказать об этом в рамках конечномерных пространств?
Буду благодарен за пару ссылок на литературу, а то это не входит в мой курс...

[Otta]

Foreman Jay в сообщении #731818 писал(а):

$\|\cdot\|$ непрерывна на $X \;\Leftrightarrow\;\forall x_0\in X\;\;\forall \varepsilon>0\;\;\exists \delta>0\; : \;\big(\|x-x_0\|<\delta\big) \Rightarrow \big(\big|\|x\|-\|x_0\|\big|<\varepsilon\big) $

Нормы бывают разные. Пусть на $X$ задано две нормы. Норма $\|\cdot\|_1$ и $\|\cdot\|_2$. Отвлечемся пока от второй. Пусть есть первая. Функция $f: X\to \mathbb R$ непрерывна в точке $x_0$, если $(x\to x_0)\Rightarrow (f(x)\to f(x_0))$.

Здесь $(x\to x_0)$ в норме, которой наделено пространство. В данном случае, в первой. А убедиться надо в непрерывности $f(x)= \|x\|_2$. Это и есть непрерывность второй нормы относительно первой. Можете написать ее эпсилон-дельта определение для интереса.

[Foreman Jay]

Я не очень понял Ваш ответ, но интуиция подсказывает, что $\| \cdot \|_1$ непрерывна относительно $\| \cdot \|_2$ (обе на $X$) iff

$$ \forall x_0 \in X \;\; \forall \varepsilon>0 \;\; \exists \delta>0 \;\; : \;\; \big(\|x-x_0\|_1<\delta\big) \Rightarrow \big(\big| \|x\|_2 - \|x_0\|_2 \big|< \varepsilon \big) $$

Так?
А что можно сказать о непрерывности $\| \cdot \|_1$ относительно $\| \cdot \|_2$ и всегда ли компакт относительно $\| \cdot \|_1$ будет компактом относительно $\| \cdot \|_2$ при $\dim X < \infty$?

[Otta]

Foreman Jay в сообщении #736720 писал(а):

Я не очень понял Ваш ответ, но интуиция подсказывает, что $\| \cdot \|_1$ непрерывна относительно $\| \cdot \|_2$ (обе на $X$) iff

$$ \forall x_0 \in X \;\; \forall \varepsilon>0 \;\; \exists \delta>0 \;\; : \;\; \big(\|x-x_0\|_1<\delta\big) \Rightarrow \big(\big| \|x\|_2 - \|x_0\|_2 \big|< \varepsilon \big) $$

Так?

Наоборот. Вы выписали условие непрерывности второй нормы относительно первой.

Цитата:

А что можно сказать о непрерывности $\| \cdot \|_1$ относительно $\| \cdot \|_2$

А проверьте. В конечномерных это нетрудно. Проверьте вот что: всегда ли в шар в одной норме можно поместить шар в другой с центром в той же точке.

[ewert]

Foreman Jay в сообщении #736720 писал(а):

А что можно сказать о непрерывности $\| \cdot \|_1$ относительно $\| \cdot \|_2$

Этот вопрос следует разбить на два подвопроса. Первый -- это непрерывность первой нормы относительно самой себя, что тривиально. Второй -- это подчинённость первой нормы второй (во всяком случае, этого достаточно для положительного ответа). В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, т.е. любая норма подчинена любой другой, и это некоторая достаточно нетривиальная теорема (хотя и не слишком сложная).

Foreman Jay в сообщении #736720 писал(а):

всегда ли компакт относительно $\| \cdot \|_1$ будет компактом относительно $\| \cdot \|_2$ при $\dim X < \infty$?

Поскольку все нормы эквивалентны -- всегда.