хочу узнать математику с самых начал и основ, глубоко и с обоснованием всех её законов.
Все законы в математике обосновать нельзя - всегда что-то останется необоснованным, чтобы с его помощью обосновать что-то другое. Область этого необоснованного называется немножко по-другому: не "основы", а "основания математики". Это довольно сложные иногда теории, так что рекомендуется сначала поизучать математику вообще, не копая глубоко.
Основания математики состоят из нескольких теорий, таких, что каждую из них можно выразить из других. В основном, это математическая логика, теория множеств, и арифметика. В начале 20 века к ним причисляли геометрию, потом стало удобным геометрию выражать через арифметику. В середине 20 века появилась ещё теория категорий.
некоторые моменты не освещались, которые могли бы рассказать мне о том, как и почему именно так выглядит математика, если другими словами, то "почему именно так, а не вот так?"
На самом деле, очень многие такие вопросы вызваны не основами, а мотивацией. Например, что-то бывает "именно так", потому что это удобно и важно для приложений математики: числами удобно считать зерно и электрический заряд, векторами - изображать силы. А кроме того, что-то бывает "именно так" для удобства и интереса самой математики: понятие предела удобно для того, что с его помощью можно выразить понятия производной, касательной, асимптотики, интеграла. Для этого не нужно копаться в основаниях математики. Зато, для этого нужно познакомиться с тем, где данные понятия и конструкции используются.
