Интеграл от чётной функции

[Xant0]

Добрый день!
Читая про преобразование Фурье для уравнения теплопроводности, встретил в выкладках такой переход:

$$\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^t d\tau \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(s,\tau) ds \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i\xi(x-s)}e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}d\xi = \frac{2}{2\pi}\int\limits_0^t d\tau \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(s,\tau) ds \int\limits_{0}^{\infty} \cos(\xi(x-s))e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}d\xi$$

Там указывается, что функция $e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}$ чётная по $\xi$. Понятно, что интеграл от минус до плюс бесконечности от чётной функции можно заменить на удвоенный интеграл от нуля до плюс бесконечности. Но там же стоит ещё множитель $e^{i\xi(x-s)}$? И почему он превратился в косинус?

Заранее спасибо.

[Ms-dos4]

$\[{e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \]$
Член с синусом выпадает ввиду нечётности получившейся функции (интеграл будет равен нулю).

[Xant0]

Ms-dos4 в сообщении #735611 писал(а):

$\[{e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \]$
Член с синусом выпадает ввиду нечётности получившейся функции (интеграл будет равен нулю).

Спасибо большое, теперь с этим моментом ясно!