Как математически разместить Вселенную в "точке".

[aklimets]

Каким образом мы могли бы разместить 3-мерное пространство любой протяженности в <<точке>> с радиусом, например $1$см? Рассмотрим простой пример. Возьмем тонкую одномерную нить длиной $R_1$. Толщину нити положим равной нулю. Эту нить можно расположить в плоский двухмерный квадрат со стороной $R_2$ или в куб со стороной $R_3$. Ясно, что

$$R_1 > R_2 > R_3$$

Для наглядности можно представить книгу, 3-мерный объект. Количество информации в виде букв занимает в книге объем $V$. Это же количество информации можно разместить в 2-мерном пространстве, т.е. на плоскости. В виде строк информация займет площадь $S$ со стороной квадрата $a(2)$. Ясно, что $a(2) > a(3)$, где $a(3)$ - сторона 3-мерного куба, изображающего книгу. Это же количество информации, помещенное в одномерное пространство, в виде строки растянется в длину величиной $a(1)$, причем

$$ a(1) > a(2) > a(3)$$

Ясно, что при увеличении числа измерений пространства для одного и того же количества информации (или вещества нити) нам потребуется n-мерный объем со все меньшей стороной $a(n)$ соответствующего $n$-мерного <<куба>>, то есть

$$ a(1) > a(2) >\cdots > a(k) > \cdots > a(n )$$

Нетрудно показать, что $a(n)$ и $a(k)$ связаны следующим соотношением

$$a(n) = {a(k)}^{k/n}\,\,\,\,\,(1)$$

Действительно, (1) следует из равенства количества (<<объема>>) информации (вещества) в том или ином n-мерном пространстве

$$ V(1) = V(2) =\cdots= V(k) =\cdots= V(n) $$

И так как

$$ V(1) = a(1)^1,\ V(2) = a(2)^2,\ \cdots V(k) = a(k)^k,\ \cdots V(n) = a(n)^n $$

то отсюда и следует (1).

Для 3-мерного пространства из (1) получим следующее соотношение

$$a(n) = a(3)^{3/n}\,\,\,\,\,\,(2)$$

Из соотношения (2) следует интересный вывод. Предположим, нам необходимо разместить всю наблюдаемую Вселенную вместе с веществом в элементарном n-мерном <<кубике>> со стороной, равной величине $10^{-33}$ см. Сколько измерений пространства нам для этого потребуется?

Размер Метагалактики равен $10^{28}$см, или, в единицах планковской длины, $10^{28}см/10^{-33}см = 10^{61}l_{pl}$. Из соотношения (2) имеем

$$ 10^1l_{pl} = {(10^{61}l_{pl})}^{3/n}\,\,\,\,\,(3) $$

Из (3) видно, что уже при 183-х измерениях пространства всю наблюдаемую Метагалактику можно разместить в 183-мерном <<кубике>> со стороной, равной $10 l_{pl}$, то есть фактически в точке (183-мерной). Причем плотность вещества в таком <<кубике>> останется равной плотности вещества, находящегося в 3-мерном пространстве наблюдаемой Метагалактики (так как объемы остаются равными)
В бесконечномерной <<точке>> (с размером $l$) можно разместить любое конечномерное пространство любой протяженности.

[Munin]

aklimets в сообщении #735375 писал(а):

Каким образом мы могли бы разместить 3-мерное пространство любой протяженности в <<точке>> с радиусом, например $1$см?

Точка не имеет радиуса.

aklimets в сообщении #735375 писал(а):

Возьмем тонкую одномерную нить длиной $R_1$. Толщину нити положим равной нулю. Эту нить можно расположить в плоский двухмерный квадрат со стороной $R_2$ или в куб со стороной $R_3$. Ясно, что

$$R_1 > R_2 > R_3$$

Это неверно. Можно выбрать $R_1>R_3>R_2.$ (Разумеется, поскольку толщина нити нулевая, подразумевается неплотная укладка.)

[aklimets]

Munin в сообщении #735387 писал(а):

Точка не имеет радиуса.

Поэтому слово "точка" я взял в кавычки.

Munin в сообщении #735387 писал(а):

Это неверно. Можно выбрать (Разумеется, поскольку толщина нити нулевая, подразумевается неплотная укладка.)

Конечно, укладка неплотная, например, на расстоянии все той же планковской длины $10^{-33}$см , (или другой).

[Aritaborian]

aklimets в сообщении #735399 писал(а):

Поэтому слово "точка" я взял в кавычки.

И чем же «точка в кавычках» отличается от точки? Если имеете в виду плоский диск радиуса $r$, так и напишите.

[aklimets]

Aritaborian в сообщении #735400 писал(а):

И чем же «точка в кавычках» отличается от точки? Если имеете в виду плоский диск радиуса , так и напишите.

Почему же именно плоский? Я могу дать определение такой "точки" как исчезающе малый $n$-мерный "объем" ("куб","шар" и т.п.)

[Aritaborian]

Отлично. Теперь дайте определение «исчезающе малой величины».

[aklimets]

Aritaborian в сообщении #735426 писал(а):

Отлично. Теперь дайте определение «исчезающе малой величины».

Да в принципе, радиус такого $n$-мерного "шара" можно взять, например, 1 метр. По сравнению с Метагалактикой это будет "исчезающе малая величина".

[Aritaborian]

Метр? А почему не километр? Не тысяча километров? Не а. е.? Не световой год? Не парсек? Не мегапарсек? Где граница между «исчезающе малой величиной по сравнению с Метагалактикой» и расстоянием, не являющимся такой величиной?

[aklimets]

Aritaborian в сообщении #735450 писал(а):

Где граница между «исчезающе малой величиной по сравнению с Метагалактикой» и расстоянием, не являющимся такой величиной?

Разделив это расстояние на исчезающе малую величину вы получите практически бесконечность. Это и будет критерием.

[longstreet]

aklimets в сообщении #735463 писал(а):

практически бесконечность

это новое слово в математике

[Aritaborian]

aklimets в сообщении #735463 писал(а):

практически бесконечность

Как справедливо отметил longstreet, это новое слово в математике. И как всякий новый термин, он нуждается в определении. Приведите, пожалуйста, определение «практически бесконечности».
Определения типа «обратной к ней является исчезающе малая величина» не принимаются ;-D

[aklimets]

В Википедии:"Евклид определил точку как объект, не имеющий измерений. В современной аксиоматике геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств — аксиомами." То есть в геометрии это понятие неопределямое.
У меня "точка" это
В Энциклопедии «Кругосвет»
"МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА — модельное понятие (абстракция) классической механики, обозначающее тело исчезающе малых размеров, но обладающее некоторой массой."

[Aritaborian]

Так абстракция же. А вы о метрах. Противоречия не видите?

[aklimets]

Aritaborian в сообщении #735478 писал(а):

Так абстракция же. А вы о метрах. Противоречия не видите?

Вообще-то использование в математике понятия "точки", как объекта имеющего нулевые размеры неправомерно, так как в природе такой сущности нет в принципе. Чтобы физически "прощупать" нулевые размеры, нужно затратить бесконечную энергию, что само по себе нереально. В одном из постов на физическом форуме я показал, что уже при достижении планковского размера $10^{-33}$см (для чего потребуется затратить планковскую энергию) любая форма материи коллапсирует и превращается в черную дыру, в том числе и инструменты для "прощупывания" микромира. Дальше "прощупывать" нечем. Поэтому предел - планковская длина, а не гипотетическая "точка" с нулевыми размерами.

[Munin]

aklimets в сообщении #735472 писал(а):

В Энциклопедии «Кругосвет»

Вы не заметили, что эта энциклопедия детская?