Функан(помогите пожалуйста разобраться)

[Otta]

Ничего подобного. Знаете, и сказали мне выше, словами. Напишите его же, только в кванторах. Еще раз: не надо определение открытого множества отягощать расписыванием определения эпсилон-окрестности.

[svv]

Пусть прообраз любого открытого множества открыт.

Возьмём произвольную точку $x\in N$, найдём $f(x)\in M$.


Возьмём произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $f(x)$ (розовый цвет) и найдём её прообраз (голубой цвет).


Так как прообраз (голубой) открыт, точка $x$ имеет некоторую $\delta$-окрестность, целиком содержащуюся в прообразе (синий).
Найдём образ этой $\delta$-окрестности (красный). Может ли он быть как на рисунке, т.е. не содержаться в $\varepsilon$-окрестности точки $f(x)$ (розовый)?


Очевидно, нет, ведь каждая точка $\delta$-окрестности $x$ (синий) содержится в прообразе (голубой) $\varepsilon$-окрестности $f(x)$, а образ любой его точки принадлежит $\varepsilon$-окрестности $f(x)$ (розовый):


Итак, для произвольного $\varepsilon>0$ существует $\delta$-окрестность $x$ (синий), образ которой (красный) содержится в $\varepsilon$-окрестности $f(x)$ (розовый).