применение линейных операторов

[Konstant]

Недавно задался вопросом: какое применение линейным операторам? Вроде весь второй семестр изучаем их и вроде как закончили. Кроме абстрактных манипуляций с векторными пространствами(вроде растяжения или поворота) ничего не делали. Также вскользь было упомянуто про линейные многообразия - это вызвало наибольший интерес. Можно ли линейные многообразия взять за модель афинного пространства? Еще, например, известно что афинное пространство хорошо практикуется в компьютерной графике. А чем плохо векторное пространство, где в качестве координаты точки взять координаты радиус-вектора? Вообщем, где можно почитать по подробнее? Или это так и остается голой теорией?

[Ms-dos4]

Konstant
Одно из главных применений - в квантовой механике, где например им сопоставляются наблюдаемые.

[ewert]

Konstant в сообщении #734855 писал(а):

какое применение линейным операторам?

Любое. Если преобразование линейно (а подавляющее большинство зависимостей в нашем грешном мире в первом приближении линейно) -- то ровно так его и следует обзывать. И мучая вас линейными операторами -- вас всего лишь стараются приучить к наиболее адекватному языку описания.

[arseniiv]

Konstant в сообщении #734855 писал(а):

А чем плохо векторное пространство, где в качестве координаты точки взять координаты радиус-вектора?

У векторного пространства есть выделенная точка — нулевой вектор. У аффинного пространства все точки равноправны, эта система «слабее» векторного пространства. Элементы аффинного пространства, в отличие от векторов, нельзя умножать на скаляр и складывать как попало — определены только суммы вида $\lambda\mathbf a + \mu\mathbf b$, где $\lambda+\mu = 1$. Точки, получающиеся в результате, лежат на прямой, проходящей через $\mathbf a$ и $\mathbf b$.

Konstant в сообщении #734855 писал(а):

Можно ли линейные многообразия взять за модель афинного пространства?

Зачем так сложно, когда можно взять «соответствующее» векторное пространство, не используя его «преимущества».

[vanger]

Как было сказано выше, идея линейности настолько всеобъемлюща, что вопрос немного ошарашивает.
Раз у вас идёт второй семестр, по матану должны проходить функции многих переменных. Вот дифференциал -- это линейное отображение(оператор, если угодно), например.

[Konstant]

Ms-dos4, да, вот это впечатляет.
А вообще, интересные ответы, думал что кто-нибудь даст конкретные примеры. По мне, так идею "линейности" можно было вынести из определений линейного пространства и линейного отображения.

Цитата:

Зачем так сложно, когда можно взять «соответствующее» векторное пространство, не используя его «преимущества».

Почему сложно? Линейное многообразие это всего лишь сумма вектора сдвига и линейного пространства. Как вы, например, представите плоскость $x + y = 1$ пользуясь только термином пространство?

[arschloach]

Цитата:

У векторного пространства есть выделенная точка — нулевой вектор. У аффинного пространства все точки равноправны, эта система «слабее» векторного пространства. Элементы аффинного пространства, в отличие от векторов, нельзя умножать на скаляр и складывать как попало — определены только суммы вида $\lambda\mathbf a + \mu\mathbf b$, где $\lambda+\mu = 1$. Точки, получающиеся в результате, лежат на прямой, проходящей через $\mathbf a$ и $\mathbf b$.

да ну, продемонстрируйте на примере

[svv]

$\mathbf r=\lambda \mathbf a+\mu \mathbf b=\mathbf a+\mu(\mathbf b-\mathbf a)$
При $\mu=0$ получаем $\mathbf a$, при $\mu=1$ получаем $\mathbf b$.

А самое главное, равенство сохранится, если к каждому из векторов $\mathbf r, \mathbf a, \mathbf b$ прибавить одну и ту же константу $\mathbf c$.

[arschloach]

точно

[arseniiv]

Konstant в сообщении #734934 писал(а):

Почему сложно? Линейное многообразие это всего лишь сумма вектора сдвига и линейного пространства.

Думал, вы имели в виду аффинное пространство целиком, а не какое-то его подпространство. С линейными многообразиями в аффинном пространстве всё так же как и с линейными многообразиями в векторном — складываете точку аффинного пространства и линейное пространство.

Цитата:

Как вы, например, представите плоскость $x + y = 1$ пользуясь только термином пространство?

Не понял вопроса. Если у вас нет базиса в векторном пространстве, ничего такого вы написать тоже не сможете. Координаты никому не даны свыше!

[Konstant]

Цитата:

Не понял вопроса. Если у вас нет базиса в векторном пространстве, ничего такого вы написать тоже не сможете. Координаты никому не даны свыше!

Ну хорошо, рассмотрим трехмерное векторное пространство геометрических векторов. Возьмем ортонормированный базис. Нулевой вектор мысленно отождествим с началом координат. Теперь будем полагать, что координата точки это координата вектора. Таком образом, плоскость можно задать соответствующей линейной оболочкой плюс вектор сдвига. Как вам такое?

[arseniiv]

Это одна из возможных биекций, а векторное пространство всегда является и аффинным, ничего нового.

Кстати, ортонормированность базиса совершенно не нужна.

[arschloach]

Цитата:

, а векторное пространство всегда является и аффинным, ничего нового.

у аффиного пространства все точки равноправны, а у векторного нет

-- 10.06.2013, 20:17 --

Цитата:

Кстати, ортонормированность базиса совершенно не нужна.

любой базис по умолчанию можно считать ортонормарованным (при нужном скалярном произведении)

[arseniiv]

arschloach в сообщении #735102 писал(а):

у аффиного пространства все точки равноправны, а у векторного нет

И всё же, векторное пространство является и аффинным — оно удовлетворяет всем условиям. Рассматривая векторное пространство как аффинное, нельзя узнать, выбранный элемент является нулём или нет.

[Konstant]

Цитата:

Это одна из возможных биекций

Приму на заметку.

То есть я так понял, толку от всего этого мало