Матрица Гурвица

[rabbit-a]

Уважаемые математики, не подскажите ли, как правильно записать определитель?
Речь идет об матрице Гурвица. Рассматривается приведенное уравнение n-й степени:
$y^n+a_1y^{n-1}+a_2y^{n-2}+\ldots+a_{n-1}y+a_n=0$

В книге Н.М. Матвеева «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», изд. 5-ое, СПб, 2005 г. на стр. 698

$$\Delta_1=a_1;\ \Delta_2=\left| \begin{array}{cc} a_1 & 1\\ 0 & a_2 \\ \end{array}\right|,\ \Delta_3=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & 1 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 \\ 0 & 0 & a_3 \\ \end{array}\right|,\ldots, \Delta_n =a_{n}\Delta_{n-1}$$

Мне кажется, что последнее соотношение в общем случае неверно. К примеру, $\Delta_3\neq a_3 \Delta_2, $ только если $a_3=0.$

Правда, на предыдущей странице написано: составим квадратную матрицу

$$\left( \begin{array}{cccccccccc} a_1 & 1 & 0 & . & . & . & . & \ldots & . & 0\\ a_3 & a_2 & a_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & . & 0\\ a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & 1 & 0 & \ldots & . & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_n \end{array} \right)$$

матрица не хочет печататься может слишком большая?

«где принято $a_k=0$ при $k>n$», но что такое $k$? Как оно связано с уравнением, в матрице оно не фигурирует, в уравнении его нет.

И почему коэф. идут в таком порядке, если бы $a_0$ -- был свободный член в уравнении, тогда естественно было бы считать, что $a_5=0,$ потому что уравнение 4-й степени. Не хочу сказать ничего плохого про этот учебник, просто не понятно. Не могли бы Вы пояснить?

У меня уравнение 4-й степени, согласно этой формуле я должен составить определитель

$$\left(\begin{array}{cccc} a_1 & 1 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & 1 \\ a_5 & a_4 & a_3 & a_2 \\ 0 & 0 & 0 & a_4\\ \end{array}\right)$$

Но в уравнении нет коэф. $a_5$. Мне нужно положить $a_5=0$?? Или как?

[Otta]

rabbit-a в сообщении #734445 писал(а):

Уважаемые математики, не подскажите ли, как правильно записать определитель?
Речь идет об матрице Гурвица. Рассматривается приведенное уравнение n-й степени:
$y^n+a_1y^{n-1}+a_2y^{n-2}+\ldots+a_{n-1}y+a_n=0$
У меня уравнение 4-й степени, согласно этой формуле я должен составить определитель

$$\left(\begin{array}{cccc} a_1 & 1 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & 1 \\ a_5 & a_4 & a_3 & a_2 \\ 0 & 0 & 0 & a_4\\ \end{array}\right)$$

Но в уравнении нет коэф. $a_5$. Мне нужно положить $a_5=0$?? Или как?

Да.
Можно вообще не задумываясь писать такую матрицу:
на диагонали (слева направо) $a_1,\ldots, a_n$.

Потом в каждом столбце проставили по возрастанию индекса, через один, коэффициенты, сверху вниз, так чтобы удачно "вписался" диагональный элемент. При этом те коэффициенты, которых в уравнении нет, заменяются на нулевые.
Например, для 4-го столбца в $\Delta_{10}$ (пишу в строку) это будет

$$(0,1,a_2,a_4,a_6, a_8,a_{10},0,0,0)^T.$$

Примерно это у Вас и написано в учебнике.

[rabbit-a]

Ясно, спасибо, Otta. Буду ориентироваться на главную диагональ. И модератору спасибо за редактуру формулы, там в матрице в нижней строчке был лишний нуль и слеш перед "end" я забыл, сегодня нашел!