двойное приближение к золотому сечению

[maxal]

Пусть $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Найдите натуральные числа $x,y,z$, удовлетворяющие системе неравенств:

$$\left\{\begin{matrix}0 < x - y\phi < \phi - 1;\\ 0 < y - z\phi < \phi - 1.\end{matrix}\right.$$

[juna]

Мой ПК отказывается находить решение.
Эта задача имеет аналитическое решение?
Я искал так. Условие задачи переписывается в виде четырех неравенств $\frac{x}{y}>\varphi$, $\frac{x+1}{y+1}<\varphi$, $\frac{y}{z}>\varphi$, $\frac{y+1}{z+1}<\varphi$.
Тогда можно искать $x$ и выражать $y=\lfloor \frac{x}{\varphi}\rfloor$, $z=\lfloor \frac{1}{\varphi}\cdot\lfloor \frac{x}{\varphi}\rfloor\rfloor$.
При этом должно выполняться два неравенства:
$\frac{x}{\varphi}-\lfloor \frac{x}{\varphi}\rfloor <1-\frac{1}{\varphi}$;
$\frac{1}{\varphi}\cdot\lfloor \frac{x}{\varphi}\rfloor -\lfloor \frac{1}{\varphi}\cdot\lfloor \frac{x}{\varphi}\rfloor\rfloor< 1-\frac{1}{\varphi}$.
Пробегаем по $x$ и не находим, чтобы одновременно выполнялись оба неравенства.

[maxal]

Аналитическое решение имеется.

[Руст]

maxal писал(а):

Пусть $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Найдите натуральные числа $x,y,z$, удовлетворяющие системе неравенств:

$$\left\{\begin{matrix}0 < x - y\phi < \phi - 1;\\ 0 < y - z\phi < \phi - 1.\end{matrix}\right.$$

Перепишем систему в виде:

$$\left{\begin{matrix}y\phi<x<y\phi+\phi^{-1},\\ \frac{y}{\phi}<z<\frac{y}{\phi}+\phi^{-2}.\end{matrix}\right.$$

Так как $y\phi=y+\frac{y}{\phi}$ достаточно удовлетворить числа второму неравенству и взять x=y+z (это единственно возможное значение для х). Второе неравенство имеет слишком много решений (плотность для у есть $\phi^{-2}$, а
$z=[\frac{y}{\phi}]+1$). Это множество конечно можно описать через число Фибоначчи или Лукаса, но особого смысла я не вижу.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Второе неравенство имеет слишком много решений (плотность для у есть $\phi^{-2}$, а
$z=[\frac{y}{\phi}]+1$). Это множество конечно можно описать через число Фибоначчи или Лукаса, но особого смысла я не вижу.

Плотность — это, конечно, хорошо. Только … чего-то решений с $z < 10^6$ ($z$ — это наименьшее число из $x, y, z$) не нашлось.

P.S. У меня получилось, что при $x = y + z$ и $y, z$ удовлетворяющих второму неравенству, чаще всего $x < y \phi$.

[maxal]

Хммм. На удивление хорошая задача получилась.
Может, ее для какой-нибудь олимпиады приберечь...

[незваный гость]

Я верю, что я неправ, но пока ошибку найти не могу.

Итак, пусть $x = y + z + t$, $t \in \mathbb Z$.

Имеем:
$y \phi < x < y \phi + \phi -1$
$y \phi < y + z + t < y \phi + \phi -1$
$y (\phi-1) < z + t < y (\phi-1) + \phi -1$
$y < z \phi + t \phi < y + 1$
$z \phi + t \phi - 1 < y < z \phi + t \phi $
Сравниваем со вторым неравенством:
$z \phi < y < z \phi + \phi -1$
Обе верхних границы должны быть больше обеих нижних, поэтому:
$ z \phi < z \phi + t \phi$, $z \phi + t \phi - 1 < z \phi + \phi -1$
$ 0 < t \phi$, $ t \phi < \phi$
$ 0 < t < 1$
Несколько странно для целого, не правда ли?

Если заменить в исходной системе $\phi-1$ на $\delta$, имеем $ 0 < t < \delta \phi$, откуда необходимое условие существования решения $\delta > \phi - 1$. Оно же, впрочем, достаточное, но по другим причинам.

[maxal]

Осталось лишь сделать вывод, что таких целых чисел $x,y,z$ не существует.
Поздравляю, незваный гость

[Руст]

На самом деле я ошибся во втором неравенстве:

$$\left{\begin{matrix}y\phi<x<y\phi+\phi^{-1},\\ \frac{y}{\phi}-\phi^{-2}<z<\frac{y}{\phi}.\end{matrix}\right.$$

Добавляя у второму неравенству получаем:
$y\phi -\phi^{-2}<z+y<y\phi<x<y\phi+\phi^{-1}$
Так как $\phi^{-2}+\phi^{-1}=1$, это эквивалентно существованию двуж неравных целых чисел в открытом интервале длины 1.

[juna]

Так и не понял, какое решение имеет в виду maxal. Ведь из неравенств, приведенных Рустом:
$y\cdot\phi<x<y\cdot\phi+{\phi}^{-1}$ (1)
$\frac{y}{\phi}-{\phi}^{-2}<z<\frac{y}{\phi}$ (2)
выводится, что
1.поскольку $x$ - натуральное, то дробная часть $y\phi$ плюс $\phi^{-1}$ больше единицы, т.е. $y\cdot\phi-\lfloor y\cdot\phi\rfloor>{\phi}^{-2}$;
2.аналогично, дробная часть $\frac{y}{\phi}$ меньше ${\phi}^{-2}$, т.е. $\frac{y}{\phi}-\lfloor\frac{y}{\phi}\rfloor<{\phi}^{-2}$.
Но $y\phi$ и $\frac{y}{\phi}$ имеют одинаковую дробную часть.

[maxal]

Артамонов Ю.Н.
Я уже озвучил ответ выше: искомых $x,y,z$ не существует.
Выкладки незваный гость и Руст лишний раз это подтверждают.

[juna]

maxal писал(а):

Хммм. На удивление хорошая задача получилась.

Особенно хорошей получилась формулировка :

maxal писал(а):

Найдите натуральные числа , удовлетворяющие системе неравенств...