Путешествие блохи

[Ktina]

По кругу расставлена 101 точка, в одной из которых сидит блоха. Она начинает прыгать по кругу в направлении против часовой стрелки, причём первым прыжком она попадает в соседнюю точку, затем прыгает через одну точку, затем через две и так далее. Доказать, что найдётся точка, в которую блоха никогда не попадёт.

[Cash]

После сотого прыжка блоха вернется в исходную точку.

[Ktina]

Cash в сообщении #733952 писал(а):

После сотого прыжка блоха вернется в исходную точку.

Верно. И после 101-го тоже. А дальше остатки повторяются, поэтому можно рассматривать только первые 102 точки (одну исходную и 101 после прыжков). Среди этих точек не более 100 различных, так как изначально блоха находится в исходной точке, а также после 100-го и 101-го прыжков. Значит, найдётся точка $P$, в которую блоха не попадёт ни разу за первый 101 прыжок. А дальше остатки повторяются, значит, в $P$ блоха не попадёт никогда.

Задача аналогична задаче "доказать, что треугольные числа не могут давать все остатки при делении на 101".