Доказать изоморфизм

[ok_go]

задача в точности, как она есть.

если не инъективно, то прообраз будет покрыт не весь

[provincialka]

То есть в задаче говорится о конечной системе?

Про инъекцию вы понимаете неправильно. Если отображение задано на $A$, то оно задано в каждой точке. Инъективность означает взаимную однозначность, но не со свем множеством, куда идет отображение, а только с образом (множеством значений отображения).

Например, функция $\arctg:\mathbb R\to\mathbb R$ является инъекцией, но не сюръекцией.

Если некоторое отображение не инъекция, значит, оно два разных элемента переводит в один.

И по-прежнему остаются вопросы: что такое $A$, в каком смысле это система? Гомоморфизмом чего является $f$? В общем, тьма полная. Хоть какой предмет-то проходите?

[ok_go]

provincialka в сообщении #733846 писал(а):

И по-прежнему остаются вопросы: что такое $A$, в каком смысле это система? Гомоморфизмом чего является $f$? В общем, тьма полная. Хоть какой предмет-то проходите?

предмет - мат.логика
система - имеется ввиду какое-то абстрактное множество и некая сигнатура.

f является гомоморфизмом из А на А.
При том, что в условии задачи говорится, что А - конечная система, преподаватель мне говорил, что нужно "придумать что-то для бесконечного множества".

в условии говорится, что f - гомоморфизм А на А, поэтому я исхожу из того, что сюръекция задана по условию.

у преподавателя настолько проникновенный голос, что когда он что-либо заясняет, то остается лишь кивать головой. встаешь из-за парты и размышляешь про себя "ЧТО ЭТО БЫЛО?!!"

[provincialka]

Мда, тяжелый случай... к сожалению, в формальнрй логике я не сильна, может, кто еще подтянется. Посмотрела в вики, сигнатура состоит из нескольких множеств разной природы, на какое из них воздействует $f$? Или на все сразу?

Ну, а "что-то придумать" - вот сам пусть и придумывает, на то он и преподаватель.

[bot]

bot в сообщении #733582 писал(а):

Для бесконечных этого доказать нельзя, нельзя также доказать для конечных систем с предикатами

Ну возьмите любое суръективное (но не инъективное) отображение $f$ бесконечного основного множества $A$ на себя. Операцию на $A$ задайте хотя бы и одноместную - ну хотя бы и само $f$ возьмите. Будет отображение $f$ гомоморфизмом? А изоморфизмом?

-- Пт июн 07, 2013 13:41:04 --

И по-прежнему неясно - входят ли в сигнатуру предикаты?

[ok_go]

А можно подробней, почему нельзя в конечных с предикатами и в бесконечных?

[bot]

Для бесконечных я уж написал, а толку? С предикатами ещё проще. Что такое изоморфизм и чем он отличается от гомоморфизма?

[ok_go]

отображение $f:A \mapsto B$
называется гомоморфизмом системы $U$ в систему $Z$ той же сигнатуры, если
1) для предикатного отношения $q$ местности $n$ и для всех $(a_1...a_n) \in A$
$(a_1...a_n)\in q^U \mapsto (f(a_1)...f(a_n) )\in q^Z$

2) для функции $q$ местности $n$ и для всех $(a_1...a_n) \in A$
$f(q^U (a_1...a_n))\mapsto q^Z(f(a_1)...f(a_n))$

если $f$ - гомоморфизм и $f(A) = B$, то $f$ называется гомоморфизмом $U$ на $Z$.

разнозначный гомоморфизм $f$ $U$ на $Z$, для которого $f^{-1} - тоже гомоморфизм, называется изоморфизмом $U$ на $Z$.

то есть мне не хватает разнозначности и сохранения операций?

[bot]

bot повторил в сообщении #733861 писал(а):

нельзя также доказать для конечных систем с предикатами

Стоп, система в условии ведь одна и та же. Ну тогда опять всё очевидно - все истинные n-ки относительно данного n-местного предиката) перейдут в истинные, все места заняты ...

[ok_go]

bot, хорошо, перейдут в истинные и все займут, но как показать взаимнооднозначность?
как следует изоморфизм?

[bot]

Ёлы-палы, опять куда лошадь впрягается. Множество ведь конечно, суръ влечёт инъ и наоборот.

[ok_go]

ок, а изоморфизм?

[bot]

Ну я же не могу написать так, чтобы предупредить все вопросы преподавателя. Читайте - выше всё написано.

[ok_go]

Алгебраическая система конечная, это по условию. если что - объясню это преподавателю.
остался вобщем-то последний вопрос: как показать, что это изоморфизм?
то есть не пойдет сказать "ну вот, видите, у нас биекция, а дальше - очевидно")

[ok_go]

bot, я могу опираться на то, что т.к. наш гомоморфизм идет из А на А, то он является строгим гомоморфизмом и является биекцией, то он является изоморфизмом?