Вычисление нормы оператора

[myjobisgop]

Добрый день. Стал изучать доказательство локальной теоремы существования и единственности для задачи Коши системы:
$\dot{x} = f(x,t) \ \ \ \ \ x(t_0) = x_0 \ \ \ \ \ (x,t) \in G \subset {\mathbb{R}}^{1+n}$

Там встретилось выражение вида:
$\L = \sup_{(t,x)\in G} \lVert f'_{x}(t,x) \rVert$
которое не понятно как понимать.

Формально, $\lVert f'_{x}(t,x) \rVert$ означает норму оператора $f'_{x}(t,x)$, что по определению: $\sup_{\lvert y \rvert = 1} \lvert f'_{x} y \rvert$, где $\lvert . \rvert$ - норма в ${\mathbb{R}}^{n}$
Но, над каким пространством задан оператор $f'_{x}(t,x)$ и что он делает?

[ewert]

myjobisgop в сообщении #732918 писал(а):

Но, над каким пространством задан оператор $f'_{x}(t,x)$ и что он делает?

Это не столько оператор, сколько матрица Якоби, которая умножается, например, на столбец дифференциалов иксов.

[Narn]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #733136 писал(а):

Это не столько оператор, сколько матрица Якоби, которая умножается, например, на столбец дифференциалов иксов.

Да нет - это именно линейный оператор, дифференциал отображения. Если $f : M \to N$, то дифференциал $ (df)_x : TM_x \to TN_{f(x)}$ - из одного касательного пространства в другое. У ТС просто и $M$ и $N$ - линейные пространства, касательные к ним в любой точке - это они сами. В принципе, про многообразия тут можно и не говорить, нам именно в курсе анализа вдалбливали, что производная (или дифференциал - разные люди по-разному называют) - это именно линейный оператор, аппроксимирующий само отображение $f$ в окрестности данной точки.

[ewert]

(Оффтоп)

Narn в сообщении #733592 писал(а):

Да нет - это именно линейный оператор, дифференциал отображения. Если $f : M \to N$, то дифференциал $ (df)_x : TM_x \to TN_{f(x)}$ - из одного касательного

Да да -- упоминать о кокасательностях в столь базовой теоремке есть форменное издевательство.

[Otta]

О, как тут весело.

myjobisgop в сообщении #732918 писал(а):

Там встретилось выражение вида:
$\L = \sup_{(t,x)\in G} \lVert f'_{x}(t,x) \rVert$
которое не понятно как понимать.

Можно никак не понимать. Достаточно понимать, что правая часть должна быть липшицевой по $x$. Вам даже явно предложили константу $L$, которую Вы можете для условия липшицевости выбрать. Хотя Вы вправе выбрать любую другую. Этого будет достаточно.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #733741 писал(а):

Можно никак не понимать.

Нет, это обязательно понимать. Липшицевости тут явно не предполагается, но явно предполагается некое достаточное условие липшицевости. И вот обязательно понимать, что это условие (ограниченность матрицы Якоби, ну или для пижонов соотв. оператора) -- воистину достаточно для справедливости теоремы.

[Otta]

(Оффтоп)

Дык и липшицевости достаточно.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #733758 писал(а):

Дык и липшицевости достаточно.

Дык это и есть достаточное условие липшицевости. Но, судя по контексту -- не поминаемой всуе, ибо нафик она, раз настолько свята.

[Otta]

ewert
Я догадываюсь. )) Именно, что достаточное. Зачем оно в этом учебнике, если можно написать липшицевость? наверное, чтобы не писать липшицевость, больше никак. И кстати о смысле этой константы, я бы больше оценила такое толкование ограниченности производной - как достаточное условие липшицевости, чем какое-то еще.
Но это у меня тоже мечты. Мда.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #733779 писал(а):

Зачем оно в этом учебнике, если можно написать липшицевость?

А это уже довольно принципиально. Я, когда читал для нематематиков, обязательно в условиях той теоремы оговаривал непременно непрерывную дифференцируемость, и ни разу не липшицевость, тьфу на неё, ибо заведомо не в коня корм. А глубокий философский смысл этой теоремы от таковой вульгаризации ровно ни разу не страдает.

[Otta]

(Оффтоп)

Для нематематиков - конечно. Для математика - лучше все-таки с Липшицем, пожалуй. Смысл которого математику если не ясен, то должен быть ясен. Там, пожалуй, другая задача: накормить тех коней, которых стОит кормить. Ну так мне кацца. А которым не впрок - так хоть с Липшицем не впрок, хоть без него... они и слов "задача Коши" потом помнить не будут.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #733793 писал(а):

Для математика - лучше все-таки с Липшицем, пожалуй.

Да не пожалуй, а ровно необходимо. Речь лишь о том, что учебники (и даже иногда методички) по математике принято писать далеко не только для математиков.

[Otta]

Да, но мы увлеклись, а может, человеку надо.

myjobisgop в сообщении #732918 писал(а):

Там встретилось выражение вида:
$\L = \sup_{(t,x)\in G} \lVert f'_{x}(t,x) \rVert$
которое не понятно как понимать.

Теорема требует, чтобы этот супремум был конечен, иначе говоря(это хорошо ясно по одномерному случаю), что производная по $x$ ограничена. То же требуется и в многомерном случае, с той разницей, что теперь производная может быть (в стандартном базисе) задана своей матрицей Якоби. Как уже писал ewert, именно она стоит там, внутри нормы. Норма - это норма матрицы, какая именно, не имеет значения. Вам должны были определять ту, которая использовалась.