Применение интеграла

[rabbit-a]

Уважаемые математики, помоги пожалуйста разобраться с задачей из учебника Бермана 2720.
Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется электроприбором от $20^\circ C$ до $100^\circ C$, если напряжение тока 120 В, сопротивление спирали 14,4 Ом, температура воздуха в комнате $20^\circ C$ и если известно, что 1 кг. воды остывает от $40^\circ C до 30^\circ C$ за 10 мин. (По закону Джоуля-Ленца $Q=I^2Rt$, где Q -- количество теплоты в джоулях, I -- ток в амперах, R -- сопротивление в омах и t -- время в секундах; удельная теплоемкость воды 4190 Дж/(кг.*К). Кроме того, воспользоваться законом Ньютона об охлаждении из задачи 2710.)
Задачу 2710 я решил, закон Ньютона об охлаждении имеет вид
$T=T_{\text{ср}}+e^{-kt}(T_0- T_{cp})$
Ясно, что кусок условия «известно, что 1 кг. воды остывает от $40^\circ C$ до $30^\circ C$ за 10 мин.» отвечает за определение коэф. k. Я его определяю:

$k=\frac{1}{10} \ln\frac{20-40}{20-30}=\frac{1}{10}\ln 2$
Согласно определению, которое я нашел: удельная теплоемкость -- величина равная количеству энергии, которое необходимо затратить, чтобы увеличить температуру тела массой 1 кг. на 1 Кельвин.
Удельная теплоемкость
Значит количество теплоты должно быть равно произведению удельной теплоемкости на 1 кг. на разность значений температур, т.е.
$Q= (100-20)\cdot 4190$. Если отсюда найти время нагрева получается \approx 5 мин. (А в ответе примерно 7 мин).
Теперь, насколько я понимаю, нужно учесть потерю энергии, которая происходит за счет охлаждения по закону Ньютона.
$\frac{dQ}{dT}=C \Rightarrow Q=C\cdot(T-T_0) $

Была идея: посчитать на сколько градусов охладится тело за 5 мин (т.е. за время его нагрева от 20 до 100 градусов без учета охлаждения), а затем пересчитать еще раз время нагрева, необходимое для компенсации этой потери тепла, но ведь это будет в лучшем случае каким-то приближением. Ведь процессы нагревания и охлаждения идут непрерывно и параллельно друг с другом.

Процесс охлаждения происходит параллельно с процессом нагревания. Я не могу понять как нужно правильно составить диф. уравнение

[svv]

Тепловая энергия, которая передаётся воде от электроприбора, частично остаётся в воде и вызывает её нагрев, частично передаётся от воды воздуху -- вот такой баланс.

Если продифференцировать это по времени, то слово "энергия" заменится на "мощность". Но сам принцип баланса "то-что-вошло, равно сумме того-что-вошло-и-осталось, и того-что-вошло-и-вышло", сохранится.

Левая часть (вошло от нагревателя) равна $I^2 R$, или, в более удобной форме, $\frac{U^2}R$.
Первое слагаемое (вошло-и-осталось) равно $C\frac{dT}{dt}$.
Второе слагаемое (вышло) равно $Ck(T-T_\text{среды})$.

Если нагреватель выключен, то левая часть равна нулю, и мы получаем дифференциальное уравнение
$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_\text{среды})$,
решая которое, и приходим к известной Вам формуле
$T=T_{\text{ср}}+e^{-kt}(T_0- T_{cp})$.
Только $k=\frac {\ln 2}{600} \text{с}^{-1}$ (всё делаем в СИ, минуты выражаем через секунды).

Ну, а если нагреватель включён, мы получаем другое дифференциальное уравнение... но дальше, я думаю, Вам всё ясно.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Перенёс в соответствующий раздел

[rabbit-a]

Спасибо большое за пояснение. Но тогда получается совсем простое уравнение:
$I^2R=C\frac{dT}{dt}+Ck(T-T_{cp})$

я переписываю его в виде $\frac{dT}{dt}+kT=(C^{-1}I^2R+k\cdot T_{cp})$

в правой части стоит константа -- неоднородность, и, стало быть, это неоднородное диф. уравнение 1-ого порядка относительно функции $T(t)$

Решаю его, к примеру методом Бернулли: $T=U\cdot X,$ константу в правой части обозначу за B для краткости, тогда

$X'U+U'X+kXU=B;\ U(X'+kX)+U'X=B;$

приравниваю к нулю выражение в скобках

$\frac{dx}{x}=-kdt \Rightarrow x=e^{-kt}$ тогда $\frac{dU}{dt}e^{-kt}=B;$

$U=\left.Bk^{-1}e^{kt}\right|_{t_0}^t$ тогда общее решение имеет вид

$T(t)-T_0=Bk^{-1}(1-e^{-kt}),$ так как $t_0=0$

Подставляю числовые значения, получаю уравнение относительно $t$

$\left(\frac{120^2}{14,4}\cdot\frac{1}{4190} +\frac{1}{600}(\ln 2)\cdot 20\right)\cdot\frac{600}{\ln 2}(1-exp(-\frac{t\ln 2}{600}))=80$

$1-e^{-\frac{t\ln2}{600}}=0,35305;$

$t=\frac{261,29}{\ln 2}\approx 377 c.$ это примерно 6,28 мин.

А в ответе примерно 7 мин. Вычисления арифметические проверил несколько раз, видимо ошибка в решении диффура, хотя пока не вижу где, буду искать, надеюсь само уравнение составил верно??!

[svv]

Уравнение у меня получилось такое же, как у Вас, а вот решения немного отличаются.
Ваше, если подставить выражение для $B$ и внести $k^{-1}$ под скобку:
$T-T_0=\left(\frac{I^2 R}{Ck}+T_0\right)(1-\exp(-kt))$
Моё:
$T-T_0=\frac{I^2 R}{Ck}(1-\exp(-kt))$

Соответственно, я решаю уравнение
$\frac{120^2}{14,4}\cdot\frac{1}{4190}\cdot\frac{600}{\ln 2}(1-\exp(-\frac{t\ln 2}{600}))=100-20$
и получаю $424$ секунды, то есть $7$ минут $4$ секунды. Вернее, WolframAlpha получает.

[svv]

Ага, вот где ошибка. Вы решаете уравнение $U'=Be^{kt}$ (это правильно) и записываете $U$ в виде определенного интеграла с нижним пределом $t_0$:
$U(t)=\int\limits_{t_0}^t Be^{k\tau}d\tau$
Но такое выражение заведомо будет равно нулю при $t=t_0$, потому что пределы интеграла совпадут. А раз так, то и $T(t_0)=U(t_0)X(t_0)$ будет тоже нулевым, и начальному условию $T(t_0)=T_0$ удовлетворить не удастся.

OK, Вы нашли $U=\frac B k(e^{kt}-1)$. Его вместе с $X=e^{-kt}$ надо было бы подставить в $T=UX$, тогда получится решение $T=\frac B k(1-e^{-kt})$, достоинство которого в том, что оно очевидно неправильное (не выполняется начальное условие). Но Вы откуда-то берете ещё слагаемое $T_0$, и получается уже неочевидно неправильное решение $T=T_0+\frac B k(1-e^{-kt})$. К нему подкопаться не так просто, разве что подставить в исходное уравнение.

Сделаем правильно. Находим неопределенный интеграл:
$U(t)=B\int e^{kt} dt=\frac B k e^{kt}+C_1$

Подставляем в $T=UX$ и записываем решение с неопределенной константой:
$T=(\frac B k e^{kt}+C_1)e^{-kt}=\frac B k +C_1e^{-kt}$

Учитываем начальное условие:
$T_0=\frac B k+C_1$
$C_1=T_0-\frac B k=T_0-\frac 1 k \left(\frac{I^2R}{C}+kT_0\right)=-\frac{I^2R}{kC}$

Подставляем найденную константу в решение:
$T=\frac B k -\frac{I^2R}{kC} e^{-kt}=T_0+\frac{I^2R}{kC}-\frac{I^2R}{kC} e^{-kt}=T_0+\frac{I^2R}{kC}(1-e^{-kt})$

[graviton]

svv в сообщении #732751 писал(а):

$T=\frac B k -\frac{I^2R}{kC} e^{-kt}=T_0+\frac{I^2R}{kC}-\frac{I^2R}{kC} e^{-kt}=T_0+\frac{I^2R}{kC}(1-e^{-kt})$

По размерности не совпадает, кажется где-то массу потеряли.

[rabbit-a]

Уважаемый svv, спасибо Вам большое, как вас отблагодарить?! Мне даже неудобно, что Вы столько времени на меня потратили, достаточно просто указать место где я ошибся (к примеру: забыли константу при вычислении функции U(t)) а далее я уж сам нашел бы. Действительно, как я так забыл, ведь очевидно же, что температура тела при $t_0=0$ должна быть равна температуре окружающей среды, т.е. $20^\circ$ - начальное условие не выполняется. И что $\frac{dQ}{dt}$ есть мощность - запомню, глядишь и физику понемногу выучу.

Уважаемый, graviton, в условии задачи упоминается, что тела массой 1 кг., поэтому расчеты не изменятся, а размерности сойдутся, мы просто здесь не писали этот множитель, т.к. не указывали размерности величины.

Всем спасибо - вопрос исчерпан.

[svv]

graviton
В этой теме $C$ -- теплоемкость, не удельная теплоемкость $c$. За внимательность спасибо.

rabbit-a
Пожалуйста! Да Вы не беспокойтесь, если бы мне это было неинтересно, я б этим не занимался.