Доказать рациональную эквивалентность двух кривых

[Коровьев]

Доказать, что кривые
$$z^2 = \left( {1 - x^2 } \right)\left( {1 - y^2 } \right)$
$$z^2 = \left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)$
рационально эквивалентны.
То есть, существует рациональное преобразование рациональных точек первой кривой в рациональные точки второй кривой. И обратно - рациональные точки второй кривой в рациональные точки первой кривой.

[Dave]

$$(x,y,z) \to \left(\frac {(1-x^2)y} z, \frac {(1-y^2)x} z, \frac {1-x^2y^2} z \right)$$

переводит точки первой кривой в точки второй, а

$$(x,y,z) \to \left(\frac {(1+x^2)y} z, \frac {(1+y^2)x} z, \frac {1-x^2y^2} z \right)$$

- наоборот.

[Коровьев]

Очень интересный вариант, мне он не был известен.
У меня вариант другой.
Если $\left( {x_1 ,y_1 ,z_1 } \right)$ рациональная точка первой кривой, то существуют такие рациональные $g,h$, что

$$x_1 = \frac{{g + h}}{{1 + gh}}$

$$y_1 = \frac{{g - h}}{{1 - gh}}$

$$z_1 = \frac{{\left( {1 - g^2 } \right)\left( {1 - h^2 } \right)}}{{1 - g^2 h^2 }}$
(Доказательство не привожу. Оставлю для желающих)

тогда точка
$$x_2 = \frac{{g - h}}{{1 + gh}}$

$$y_2 = \frac{{g + h}}{{1 - gh}}$

$$z_2 = \frac{{\left( {1 + g^2 } \right)\left( {1 + h^2 } \right)}}{{1 - g^2 h^2 }}$
есть рациональная точка второй кривой.
Аналогично и обратно.
Если $\left( {x_2 ,y_2 ,z_2 } \right)$ рациональная точка второй кривой, то существуют такие рациональные...