Метод Ньютона. Достаточное условие.

[MathGo]

Добрый день.

Задался следующим вопросом:
Достаточным условием выполнения метода Ньютона (метод касательных) является следующее условие:
$f(x)f^{\prime\prime}(x)>0$

Как вы думаете, что означает данное условие? И как доказать, что оно достаточное? Т.е. знак второй производной говорит о выпуклости функции, но как он связан со знаком самой функции мне не очень ясно.

[ewert]

MathGo в сообщении #730921 писал(а):

Как вы думаете, что означает данное условие?

Ничего не означает формально, ибо очень многое не договорено.

Если же говорить по существу, то означает очень простую вещь. Предполагается, что выпуклость (т.е. знак второй производной) сохраняется от стартовой точки вплоть до корня (ближайшего). И тогда, если знак выпуклости согласован со знаком самой функции в стартовой точке -- сходимость метода Ньютона гарантирована. Что очевидно даже из чисто геометрических соображений.

Но, между прочим, следует понимать и то, что гарантирована лишь теоретически. Если корень более чем первого порядка (т.е. если производная в корне равен нулю), то метод запросто может практически и разойтись. Поскольку погрешности округления -- они, знаете ли, как-то не вполне нулевые.

[MathGo]

ewert
Большое спасибо за развернутый ответ. Просто в одной из методичек по численным методам, я обнаружил следующее достаточное условие выполнения метода Ньютона:

$f'(x)f''(x)>0$

И задумался, является ли данное условие достаточным или нет. Приняв данное условие за опечатку, не долго думая, я решил уточнить этот вопрос у преподавателя, являющегося автором методички. Он сказал что данное условие говорит нам о том, что на интервале нет точек перегиба функции, и что-то там.. и поэтому оно является достаточным. Но сейчас я подумал, что если мы берем функцию, скажем:

$f(x)=-x^2+1$

Получается что знак первой производной данной функции на интервале $(0; 1,5)$ отрицательный, как и знак второй производной. Но ведь на данном интервале метод Ньютона не работает (по крайней мере для большинства точек), значит и условие не является достаточным. Ведь так?

[TOTAL]

MathGo в сообщении #731400 писал(а):

Просто в одной из методичек по численным методам, я обнаружил следующее достаточное условие выполнения метода Ньютона:

$f(x)\prime$$f(x){\prime\prime$}>0

И задумался, является ли данное условие достаточным или нет.

Это вообще никакое не условие, т.к. ничего не сказано, где это неравенство выполняется. Не сказано также, что берется в качестве начального приближения.

MathGo в сообщении #731400 писал(а):

Он сказал что данное условие говорит нам о том, что на интервале нет точек перегиба функции, и что-то там.. и поэтому оно является достаточным.

Преподаватель сделал вид, что этим условием он хотел сказать, что на отрезке (где локализован корень, на концах отрезка функция имеет разные знаки) первая и вторая производная функции не меняют знак. В этом случае метод Нютона сойдется, если в качестве начального приближения взять любую точку отрезка, в которой функция выгнута к оси $X$ (любую точку, в которой сама функция и её вторая производная имеют одинаковый знак).