Условия хаотических отображений. Существуют ли они?

[piu]

Какие необходимые и достаточные условия должны выполняться, чтобы отображение являлось хаотическим при некоторых значениях параметров? Т.е. существует ли аналитический метод, который позволял бы утверждать, что некоторое отображение является хаотическим (к примеру, логистическое или стандартное отображение)? При этом метод моделирование отображения на ЭВМ не подходит, поскольку это уже не совсем аналитический метод.
Заранее всем спасибо.

[ewert]

piu в сообщении #731201 писал(а):

Какие необходимые и достаточные условия должны выполняться, чтобы отображение являлось хаотическим

Что такое "хаотическое отображение"?...

piu в сообщении #731201 писал(а):

При этом метод моделирование отображения на ЭВМ не подходит, поскольку это уже не совсем аналитический метод.

Например, линейный конгруэнтный метод -- вполне себе машинный и при этом более чем аналитический.

[piu]

Цитата:

Что такое "хаотическое отображение"?...

Класс отображений с хаотическим поведением (дискр или непрерывных). Точное определение скорее всего равносильно ответу на мой же вопрос, потому что будет определять условие является ли с-ма уравнений хаотической или нет.
Известны 3 свойства, которые система является хаотической: чувствительность к начальным условиям (экспонента Ляпунова), иметь св-во топологического смешивания, её периодические орбиты должны быть всюду плотными.
Известно что динамическая система м.б. хаотической, если она нелинейна (по крайней мере для непрерывных систем, на сколько я знаю). Хотя вроде бы системы ЛУ с бексонечным числом ур-ий могут также создавать детерминированный хаос.
Вот можно ли сказать что некоторая система создаст каскад бифуркаций при некоторых значениях ее параметров, при этом не применяя ЭВМ?

[Oleg Zubelevich]

пока вы не дадите определение хаотического отображения ,разговор беспредметен

piu в сообщении #731217 писал(а):

периодические орбиты должны быть всюду плотными.

значит тождественное отображение хаотично?

[scwec]

Отображение - это куда и откуда. Можно написать определение, когда куда-откуда - это метрическое пространство, желательно, полное
(для того, чтобы замыкание эргодической траектории совпадало со всем пространством).
Такие определения есть. Например, Р.М. Кроновер "Фракталы и хаос а динамических системах" 2000 г. п.6.5. стр. 169 и далее.(Это уровень Вашего вопроса).
Но я думаю, что было бы очень наивно полагать, что существуют аналитические критерии (тем более необходимые и достаточные) детерминированного хаоса вообще. Даже для логистического отображения, изученного,казалось бы, вдоль и поперек, совершенно непонятно, эргодическая траектория, которая там существует при определенных условиях - одна и та же или их конечное число или их бесконечно много.
Общие теоремы ничего об этом не говорят.
По моему, Вам стоит сформулировать Ваш вопрос более конкретно.

[Stan Slapenarski]

piu

Могу предложить сырые качественные идеи: главу «Рецепт Хаоса» из книги Иена Стюарта «Играет ли Бог в кости? Математика хаоса».