Вопросы по геометрии.

[Kosmos-1729]

Сразу прошу прощения за ненаучные формулировки.

У меня такие вопросы:

1. Имеется некая двумерная поверхность конечной площади, есть ли доказанный математический способ узнать, что эта поверхность замкнутая, сферообразная, и не имеющая краёв или, наоборот, что она представляет собой некую плоскую фигуру с краями?

2. Представим некую плоскую фигуру в трёхмерном пространстве: она имеет две поверхности или всё же одну? Чтобы было понятнее, на одной стороне плоской фигуры мы нарисовали букву "K", что мы увидим на другой её стороне: а) ничего, б) зеркально перевёрнутую букву "К", в) обычную букву "К", или г) этот вопрос вообще не имеет отношение к математики, и математика не даёт на него ответа?

[Munin]

Kosmos-1729 в сообщении #730729 писал(а):

Имеется некая двумерная поверхность конечной площади, есть ли доказанный математический способ узнать, что эта поверхность замкнутая, сферообразная, и не имеющая краёв или, наоборот, что она представляет собой некую плоскую фигуру с краями?

Есть критерии, которые для замкнутой поверхности выполняются, а для незамкнутой - могут не выполняться. Но если они выполняются, гарантии ещё нет. Называется это
http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Гаусса-Бонне

Kosmos-1729 в сообщении #730729 писал(а):

Представим некую плоскую фигуру в трёхмерном пространстве: она имеет две поверхности или всё же одну?

Есть такая фигура, как лист Мёбиуса (или лента Мёбиуса). Она двумерная ("плоская"), но имеет одну поверхность. Если нарисовать на ней букву "К", то потом эту букву можно двигать по поверхности так, что она через некоторое время вернётся к исходной точке в виде перевёрнутой буквы "К". Этот вопрос имеет прямое отношение к математике, математика различает ориентируемые и неориентируемые поверхности (ориентируемые - как простой лист бумаги, неориентируемые - как лист Мёбиуса).

[Lptv]

1. Если я правильно понял, Вас интересует алгоритм распознавания топологического типа компактного двумерного многообразия $M$. Строго доказано, что такие объекты топологически эквивалентны либо сфере с $p$ ручками и $m$ компонентами края, $p\ge0$, $m\ge0$ или сфере с $q$ пленками Мебиуса и $n$ компонентами края, $q\ge1$, $n\ge0$ (правда во втором случае они не могут быть поверхностями в $\mathbb{R}^3$ за исключением самой пленки). Если поверхность триангулировать, то задачу можно решить даже с помощью компьютера. Простейший алгоритм определит, ориентируемо данное многообразие или нет (в моем компьютере такая программа имеется). Если да, то мы имеем дело с многообразием первого типа, если нет - то второго. Далее вычисляете характеристику Эйлера $\chi(M)$ и число компонент края ($m$ или $n$) и пользуетесь формулами $\chi(M)=2-2p-m$ или $\chi(M)=2-q-n$ (в зависимости от ответа на первый вопрос).
2. Если фигура плоская, то она является подмножеством плоскости. Так как плоскость есть поверхность, то ее "хорошая" часть также является поверхностью (выбрать на ней сторону - значит, задать ориентацию). Для действительно плоской фигуры фраза "нарисовать на ней букву" может означать только выделение цветом какого-то подмножества этой фигуры. При этом буква будет видна с обеих сторон, разумеется в зеркально перевернутом виде. Чтобы нарисовать букву только с одной стороны и сделать ее невидимой с другой, нужна фигура имеющая ненулевую (пусть и очень малую) толщину. Но тогда это будет уже не плоская фигура, а трехмерное тело (пусть и очень тонкое). Кстати, ответ на этот вопрос очень наглядно виден при визуализации таких объектов с помощью компьютера.

[Munin]

Lptv
А как число компонент края вычислить, если в исходных данных край вообще не упоминается (как я понял)?

Lptv в сообщении #730756 писал(а):

Чтобы нарисовать букву только с одной стороны и сделать ее невидимой с другой, нужна фигура имеющая ненулевую (пусть и очень малую) толщину.

Или изменить смысл слов: фраза "нарисовать на ней букву" будет означать выделение цветом какого-то подмножества фигуры, причём для каждой точки подмножества - с указанием стороны поверхности, с которой она выделена цветом. Тогда появляется возможность нарисовать букву только с одной стороны.

[Lptv]

Munin в сообщении #730764 писал(а):

А как число компонент края вычислить, если в исходных данных край вообще не упоминается (как я понял)?

Ну, это самая простая задача. Находите объединение ребер, каждое из которых является стороной только одного треугольника. Затем обходом в ширину или глубину полученного графа находите его компоненты связности.

Munin в сообщении #730764 писал(а):

Или изменить смысл слов: фраза "нарисовать на ней букву" будет означать выделение цветом какого-то подмножества фигуры, причём для каждой точки подмножества - с указанием стороны поверхности, с которой она выделена цветом. Тогда появляется возможность нарисовать букву только с одной стороны.

Я полагал, что автор вопросов имел в виду практическую выполнимость этих действий. Теоретически конечно можно ориентировать каждый треугольник двумя способами и получить 1 или 2 стороны неособой поверхности (или много сторон для разветвленной), а затем говорить о том, что мы покрасим только одну сторону. Только Вы попробуйте поручить эту покраску программисту. Он будет сильно озадачен. Ибо компьютер может покрасить данное множество точек одним цветом, но не сможет покрасить одни и те же точки двумя цветами (если так сделает, то будет виден только второй).

[Munin]

Lptv в сообщении #730777 писал(а):

Я полагал, что автор вопросов имел в виду практическую выполнимость этих действий.

Практические действия с абстрактными бесконечно тонкими поверхностями? Хм.

Lptv в сообщении #730777 писал(а):

Только Вы попробуйте поручить эту покраску программисту. Он будет сильно озадачен. Ибо компьютер может покрасить данное множество точек одним цветом, но не сможет покрасить одни и те же точки двумя цветами (если так сделает, то будет виден только второй).

Вы недооцениваете программистов. Программист, что скажут, то и сделает. Например, треугольник может быть закрашен одним цветом (да что там, одной текстурой), если на него глядеть с одной стороны, и другим - если с другой. Возможно, вы видели какие-то достаточно убогие программные модели, в которых это невозможно, ну и что?

[Lptv]

Munin в сообщении #730779 писал(а):

Практические действия с абстрактными бесконечно тонкими поверхностями? Хм.

Практические действия с компьютерными моделями этих объектов - вполне.

Lptv в сообщении #730777 писал(а):

Вы недооцениваете программистов. Программист, что скажут, то и сделает. Например, треугольник может быть закрашен одним цветом (да что там, одной текстурой), если на него глядеть с одной стороны, и другим - если с другой.

Тогда это уже не один треугольник, а два достаточно близко расположенных. Вы всерьез считаете, что один и тот же пиксел может одновременно иметь два разных цвета?

Munin в сообщении #730779 писал(а):

Возможно, вы видели какие-то достаточно убогие программные модели, в которых это невозможно, ну и что?

Ну вот, разговор уже начинает переходить на личности - пошли предположения об убогости...

[Munin]

Lptv в сообщении #730784 писал(а):

Практические действия с компьютерными моделями этих объектов - вполне.

А вот тут вы просто путаете. Компьютерные модели - это не сами объекты. И действия с ними - это не практические действия, а модельные, примерно того же уровня, что и математические вычисления на бумажке.

Lptv в сообщении #730784 писал(а):

Тогда это уже не один треугольник, а два достаточно близко расположенных.

Нет, один :-) В компьютере он задан тремя точками в пространстве, и всё.

Lptv в сообщении #730784 писал(а):

Вы всерьез считаете, что один и тот же пиксел может одновременно иметь два разных цвета?

Я всерьёз считаю, что треугольник - это не пиксел. И даже не множество пикселов.

Lptv в сообщении #730784 писал(а):

Ну вот, разговор уже начинает переходить на личности - пошли предположения об убогости...

Об убогости моделей, которые вы видели, а не личности. Личности вашей я не касался.

P. S. Может быть, где-то в 70-е и 80-е и были такие компьютерные модели, где пространство описывалось как пикселы, а треугольник в пространстве - как множество таких пикселов. Но с появлением трёхмерной графики современного типа (на достаточно быстром железе), всё это давно ушло в прошлое. С середины 90-х компьютерные модели устроены совсем иначе: в них идут непиксельные вычисления на протяжении всей трёхмерной части, и только в самом конце, когда вычислена проекция трёхмерного треугольника на экранную плоскость, начинают вычисляться пикселы именно этой двумерной экранной плоскости. А при вычислении проекции треугольника, вычислить, какой стороной он повёрнут к зрителю, - никаких проблем.

[Lptv]

Munin в сообщении #730804 писал(а):

А вот тут вы просто путаете. Компьютерные модели - это не сами объекты. И действия с ними - это не практические действия, а модельные, примерно того же уровня, что и математические вычисления на бумажке.

Совсем забыли тему обсуждения. Исходный объект в данном случае - плоская фигура - математическая абстракция. Поэтому модель здесь реальнее самого объекта.

Munin в сообщении #730804 писал(а):

В компьютере он [треугольник] задан тремя точками в пространстве, и всё.

Очень глубокая мысль. Надо записать, а то забуду !

Munin в сообщении #730804 писал(а):

Личности вашей я не касался.

Это Вам так кажется. Из вашего предположения следует убогость опыта оппонента, а следовательно, и его квалификации.

Munin в сообщении #730804 писал(а):

С середины 90-х компьютерные модели устроены совсем иначе: в них идут непиксельные вычисления на протяжении всей трёхмерной части, и только в самом конце, когда вычислена проекция трёхмерного треугольника на экранную плоскость, начинают вычисляться пикселы именно этой двумерной экранной плоскости. А при вычислении проекции треугольника, вычислить, какой стороной он повёрнут к зрителю, - никаких проблем.

Ликбез закончился? (Надо послать к Вам ребят, делавших мне программный комплекс по компьютерной топологии. А то они несколько лет работали в компании "Интел", а таких вещей не знают! ).
Может быть вернемся к теме? Автор вопроса писал: "на одной стороне плоской фигуры мы нарисовали букву "K", что мы увидим на другой её стороне?". Мне кажется (если ошибаюсь - поправьте), что здесь речь идет о том, что мы закрасили часть поверхности один раз, а потом смотрим на нее со всех сторон. В Вашем случае речь идет о том, что когда треугольник показывают с одной стороны, то его красят в один цвет, а когда поворачивают другой стороной - быстренько перекрашивают в другой.

[arseniiv]

Lptv в сообщении #730888 писал(а):

Автор вопроса писал: "на одной стороне плоской фигуры мы нарисовали букву "K", что мы увидим на другой её стороне?". Мне кажется (если ошибаюсь - поправьте), что здесь речь идет о том, что мы закрасили часть поверхности один раз, а потом смотрим на нее со всех сторон. В Вашем случае речь идет о том, что когда треугольник показывают с одной стороны, то его красят в один цвет, а когда поворачивают другой стороной - быстренько перекрашивают в другой.

Видно без труда, что вопрос вне модели закрашивания фигур бессмысленен. Как определим закрашивание, такие свойства у него и будут. Обычные точки бесцветны.

Что можно обсуждать?

[Munin]

Lptv в сообщении #730888 писал(а):

Это Вам так кажется. Из вашего предположения следует убогость опыта оппонента, а следовательно, и его квалификации.

Ровно наоборот. Убогость квалификации (не присущей, а продемонстрированной оппонентом) есть исходное положение, полученное экспериментально. А уж из него выводятся гипотезы о том, как это могло появиться.

Lptv в сообщении #730888 писал(а):

Может быть вернемся к теме?

Попробуйте. Вспомните на досуге, что автор не касался компьютерных моделей вообще.