Равносторонний треугольник внутри произвольного

[Побережный Александр]

Задан произвольный треугольник. Как вписать в него равносторонний треугольник максимальной площади?

[mihailm]

Общепринятого определения "треугольника вписанного в треугольник" нет (скорее всего и никакого нет), на всякий случай определите

[temp03]

почему нет?? Всё нормально есть: в любой треугольник можно вписать равносторонний. В равносторонний - сам в себя.

[TOTAL]

Вписать правильный треугольник наименьшей площади слабо?

[Dimoniada]

Александр, у Вас есть какие-нибудь соображения, как подступиться к задаче?
Может сначала глянуть, как строиться произвольный равносторонний тр-ик, вписанны в данный (3 его вершины лежат на разных сторонах исходного треугольника, принадлежность двум сторонам любой его вершины допускается конечно)?

(Оффтоп)

Примерно так:

А там скоро и видно будет, как вписывать с максимальной и минимальной площадками такие равносторонние треугольнички
Может есть способ и легче (эту задачу не помню).

[Dimoniada]

Конечно, для решения конечной задачи, нужно будет исследовать кривую, образованную положениями вершины равностороннего тр-ика при скольжении двух других его вершин по лучам $AB$, $BC$. Получится что-то типа кусочка эллипса между лучами. (В "Кванте" точно есть статья про такие скольжения и положения)

В системе координат лучей, $ \frac x y = \frac {\sin(\theta_{\operatorname{const}} - \phi)} {\sin(\theta_{\operatorname{const}} + \phi)} $, параметр $\phi$ меняется (например) как угол $\angle D$ треугольника $\triangle ADE$.

[TOTAL]

Для того чтобы вписать треугольник наименьшей площади, кривую исследовать не надо.

[Dimoniada]

Да, действительно, TOTAL Решение необходимо искать среди подерных треугольников (+ условие на $min({L_{\infty}}$-нормы для сторон тр-ика)) -> приходим к внутренней точке Аполония!
Подробная статья В. Протасова и В. Тихомирова "Пространство $L_p$ и замечательные точки треугольника", "Квант"/2012/№2.

[TOTAL]

Dimoniada в сообщении #730711 писал(а):

Решение необходимо искать среди подерных треугольников

Вот начало неподерного решения. Очевидно, для любого треугольника произведение площадей вписанного в него и описанного вокруг него равносторонних треугольников (они одинаково ориентированы и стороны их параллельны) постоянно. Осталось описать максимально большой правильный треугольник.

[ewert]

Dimoniada в сообщении #730394 писал(а):

В системе координат лучей, $ \frac x y = \frac {\sin(\theta_{\operatorname{const}} - \phi)} {\sin(\theta_{\operatorname{const}} + \phi)} $, параметр $\phi$ меняется (например) как угол $\angle D$ треугольника $\triangle ADE$.

Для задачи о максимальном вписанном треугольнике явные уравнения этой кривой не нужны, достаточно её выпуклости. Не знаю, откуда она могла бы следовать сразу, но можно, например, так. Введём в качестве параметров $t,s$ расстояния от точки $A$ до точек $D,E$; они связаны соотношением $t^2-2\theta\,ts+s^2=1$, где $\theta=\mathrm{const}, |\theta|<1$. Нетрудно видеть, что вектор $\vec r=\overrightarrow{AF}$ зависит от этих параметров как $\vec r=t\,\vec m_1+s\,\vec m_2$, где $\vec m_1,\vec m_2$ -- некоторые постоянные векторы (и тогда понятно, какие, но это не важно -- главное, что они постоянны). Между тем кривая сохраняет строгую выпуклость на участках, где векторное произведение $\dot{\vec r}(t)\times\ddot{\vec r}(t)$ сохраняет знак. В нашем случае $\dot{\vec r}(t)\times\ddot{\vec r}(t)=[\vec m_1\times\vec m_2]\,\ddot s(t)$, и знак сохраняется просто потому, что эллипс $t^2-2\theta\,ts+s^2=1$ -- кривая выпуклая. Ну там плюс кое-какие нюансы.