Дифференциальное уравнение

[randy]

$(x^2+1)y'+4xy=3$
$\frac {dy}{dx}=-\frac {4xy+3}{x^2+1}$
$dy=\frac {-4xy+3}{x^2+1} dx$
как от $y$ в числителе избавиться?

[Ms-dos4]

А кто вам сказал что это уравнение с отделяющимися переменными? Это линейное уравнение 1-го порядка (неоднородное)

[randy]

Ms-dos4 в сообщении #730577 писал(а):

А кто вам сказал что это уравнение с отделяющимися переменными? Это линейное уравнение 1-го порядка (неоднородное)

то есть в этом уравнении вида $y'+P(x)y=f(x)$ тройка это функция от икса?
попробуем решать методом лагранжа, найдем решение однородного уравнения
$\frac {dy}{dx}=-\frac {4xy}{x^2+1}$
$-4xydx=(x^2+1)dy$
$-\frac {4xdx}{x^2+1}=\frac {dy}{y}$
Решением интеграла будет $-2\ln (x^2+1)=\ln (y)$
отсюда решение однородного уравнения $y=(x^2+1)^{-2}$
Теперь искать решение неоднородного, заменой $y=3\cdot(x^2+1)^{-2}$?

[Ms-dos4]

Зачем вам его так решать. Можно сразу и очень быстро получить общее его решение, т.к. у него существует "интегрирующий множитель".
Пусть у нас есть уравнение
$\[{y^'} + g(x)y = f(x)\]$
умножим обе части на $\[{e^{\int {g(x)dx} }}\]$
$\[{y^'}{e^{\int {g(x)dx} }} + g(x){e^{\int {g(x)dx} }}y = f(x){e^{\int {g(x)dx} }}\]$
А это - полная производная
$\[d(y{e^{\int {g(x)dx} }}) = f(x){e^{\int {g(x)dx} }}dx\]$
$\[y{e^{\int {g(x)dx} }} = \int {f(x){e^{\int {g(x)dx} }}dx} + C\]$
И окончательно
$\[y = {e^{ - \int {g(x)dx} }}(C + \int {f(x){e^{\int {g(x)dx} }}dx} )\]$

P.S.Не забудьте только привести его к указанному выше виду.
P.P.S."Отпотенцировали" вы очень хорошо... Двойку то куда дели? Она в степень идёт.

[randy]

Довольно необычное решение.
А если делать по методу Лагранжа, будет как-то так?
$(x^2+1)(\frac {(x^2+1)c'(x)-4xc(x)}{(x^2+1)^3})+\frac {4xc(x)}{(x^2+1)^3}=3$

[provincialka]

randy в сообщении #730591 писал(а):

найдем решение однородного уравнения
Решением интеграла будет $-2\ln (x^2+1)=\ln (y)$
отсюда решение однородного уравнения $y=(x^2+1)^{-2}$
Теперь искать решение неоднородного, заменой $y=3\cdot(x^2+1)^{-2}$?

Константу куда дели? В методе вариации именно ее заменяют функцией, но не правой частью, а неизвестной функцией, которую нужно найти.

Но, конечно, в конкретных случаях можно применять и другие методы решения.

[Ms-dos4]

Вы это как получили? Решение однородного уравнения есть
$\[y = \frac{C}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\]$
Теперь положим
$\[C = Z(x)\]$
$\[{y^'} = \frac{{{Z^'}{{({x^2} + 1)}^2} - 4x({x^2} + 1)Z}}{{{{({x^2} + 1)}^4}}} = \frac{{{Z^'}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} - \frac{{4xZ}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\]$
Подставим в уравнение
$\[\frac{{{Z^'}}}{{({x^2} + 1)}} - \frac{{4xZ}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} + 4x\frac{Z}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = 3\]$
Заметьте, одно слагаемое сокращается, так должно быть ВСЕГДА
$\[\frac{{{Z^'}}}{{({x^2} + 1)}} = 3\]$
$\[Z = {x^3} + 3\]$
Общее решение
$\[y = \frac{{{x^3} + 3 + C}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\]$
P.S.Можете попробовать решить методом Лагранжа общее уравнение этого типа, получите такую же формулу, что я привёл выше.

[randy]

а вольфрам альфа выдает $y'=\frac {(x^2+1)c'(x)-4xc(x)}{(x^2+1)^3}$
если $y=\frac {c(x)}{(x^2+1)^2}$

[Ms-dos4]

randy
Ну он одну скобку сократил, но не разделил почленно числитель. Не видите что ли? У меня собственно то же самое записано
P.S.Вы не на вольфрам смотрите, а решайте.
P.P.S.Не научитесь дифференцировать - ДУ никогда не решите

[randy]

только вот $z'=3x^2+3$, значит $z=3(\frac {x^3}{3}+x)=x^3+3x$
спасибо за помощь

[Ms-dos4]

randy
Да, конечно, там я опечатался

[arseniiv]

($\TeX$.)

Ms-dos4, штрих не нужно верхним индексом писать.

Сравните: $g'$ vs. $g^'$.

[Ms-dos4]

arseniiv

(Оффтоп)

Спасибо, а то я как то этому особого значения не придавал