сходимость интеграла

[kirillag]

Otta в сообщении #730120 писал(а):

kirillag
Ну а что бы Вам не прочитать определение несобственного интеграла по конечному промежутку? Какой интеграл вида $\int_a^b f(x)\,dx$ называется несобственным? Как Вам говорили?

не могу найти это определение... но в принципе как решать понял, всем спасибо!


вот еще не получается: Доказать равномерную сходимость на [0, 1/2] $\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^n}}$

доказываю по признаку вейерштрасса: если ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}}$ сходится, $\forall x \in X \hfill \\$ $ |{U_n}(x)| \leqslant {C_n} \hfill \\$, то$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{U_n}(x)} \hfill \\ $ сходится абсолютно и равномерно на X.

Чтобы найти ${{C_n}}$, нахожу максимальное ${{U_n}(x)}$, для этого из производной ${{U_n}(x)}$ нахожу экстремум: $(n{x^n})' = {n^2}{x^{(n - 1)}} = 0$, отсюда $x=0$ или $n=0$, дальше непонятно что делать

[Otta]

kirillag в сообщении #730138 писал(а):

не могу найти это определение...

А вот напрасно. Многое бы прояснилось.

Про ряд. А попробуйте без производных придумать, чего не превосходит каждое Ваше слагаемое на этом отрезке. Просто подумайте. График нарисуйте, схематически (опять же на отрезке). Будет видно, где у слагаемого самое большое значение. (Производная - это хорошо, но тоже надо умеючи.)

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #730106 писал(а):

Сколько человек Вам сказали, что предельный признак сравнения тут по существу не нужен?

Это есть вопрос философский. Что есть эквивалентность, вообще-то говоря?... -- вообще-то или бесконечно малых, или бесконечно больших, если следовать формально зазубренному определению. Ну а тут -- просто конечных.

Это действительно способно сбить с толку, если зубрить именно формальные определения. И если вызубривать не более чем теоремы и формулки, не вникая в их доказательства. Короче -- если учить исключительно пиджин-математику.

[kirillag]

Otta в сообщении #730141 писал(а):

kirillag в сообщении #730138 писал(а):

не могу найти это определение...

А вот напрасно. Многое бы прояснилось.

Про ряд. А попробуйте без производных придумать, чего не превосходит каждое Ваше слагаемое на этом отрезке. Просто подумайте. График нарисуйте, схематически (опять же на отрезке). Будет видно, где у слагаемого самое большое значение. (Производная - это хорошо, но тоже надо умеючи.)

максимальное значение x - 1/2, значит максимальное значение функции - $\frac{n}{{{2^n}}}$. Сходимость ряда этой функции нужно доказывать, или достаточно увидеть, что в знаменателе показательная функция, а в числителе - линейная?

[Otta]

kirillag в сообщении #730158 писал(а):

максимальное значение x - 1/2, значит максимальное значение функции - $\frac{n}{{{2^n}}}$.

Не значит, хотя это действительно оно. Но это не следствие того, что "максимальное значение $x$ - 1/2".

Цитата:

Сходимость ряда этой функции нужно доказывать, или достаточно увидеть, что в знаменателе показательная функция, а в числителе - линейная?

А что по этому поводу говорит признак Вейерштрасса? Нужно или нет?

-- 30.05.2013, 00:44 --
ewert

(Оффтоп)

Мне стало интересно, неужели Вы ИСН подозреваете в зубрежке? Какая разница, эквивалентность чего, признаку сходимости на это наплевать, Вы сами знаете. Речь идет о другом. Что если функция интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале и ограничена в окрестности якобы особой точки, то именно с неформальной точки зрения интеграл собственный, поскольку в таком случае она интегрируема по Риману и на всем промежутке, содержащем особую точку.
Поэтому, как правило, в определении несобственных интегралов второго рода оговаривается неограниченность функции в некоторой окрестности особой точки.

С другой стороны, верно и то, что несмотря ни на что, к собственному интегралу Римана можно отнестись как к несобственному, вычисляя нужный предел. А также верно то, что смысла в этом большого нет, поскольку полученное значение интеграла, как несобственного, совпадет со значением соответствующего собственного.

Поэтому можно считать его каким угодно, конечно. Интеграл от синуса по отрезку, в принципе, тоже можно считать несобственным. Но зачем? С другой стороны, насильно в рай не загонишь )) и запретить нет оснований.

[kirillag]

Otta в сообщении #730178 писал(а):

kirillag в сообщении #730158 писал(а):

максимальное значение x - 1/2, значит максимальное значение функции - $\frac{n}{{{2^n}}}$.

Не значит, хотя это действительно оно. Но это не следствие того, что "максимальное значение $x$ - 1/2".

Цитата:

Сходимость ряда этой функции нужно доказывать, или достаточно увидеть, что в знаменателе показательная функция, а в числителе - линейная?

А что по этому поводу говорит признак Вейерштрасса? Нужно или нет?

нет, я имею ввиду нужно ли доказывать, что ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{n}{{{2^n}}}}$ сходится. или Вы хотите сказать, что и к этому ряду нужно применить признак вейерштрасса?

[Otta]

kirillag
Теоремы нужно читать буквально. Признак Вейерштрасса требует сходимость этого ряда?

[kirillag]

Otta в сообщении #730418 писал(а):

kirillag
Теоремы нужно читать буквально. Признак Вейерштрасса требует сходимость этого ряда?

требует

[Otta]

Значит, надо доказывать.

[kirillag]

Otta
по даламберу доказывается. еще раз благодарю, эту задачу тоже уяснил.

[Otta]

Да, можно по Даламберу.