Условный экстремум

[teddybrooks]

2 вопроса по задаче на условный экстремум:
Найти экстремум функции $u=xy^2z^3$ при условии $x+y^2+z^3=1$ $(x>0, y>0, z>0)$.
Функция Лагранжа: $L=xy^2z^3 - \lambda(x+y^2+z^3-1)$.
Берем частные производные, получаем систему:
$\left\{% \begin{array}{cl} y^2z^3-\lambda=0; \\ xyz^3-\lambda y =0; \\ xy^2z^2 - \lambda z^2=0; \\ x+y^2+z^3 =1; \\ \end{array}% \right.$$
От нее можно перейти к системе
$\left\{% \begin{array}{cl} \lambda(x-y^2)=0; \\ \lambda(x-z^3)=0; \\ \lambda(y^2-z^3)=0; \\ x+y^2+z^3=1; \\ \end{array}% \right.$$
Получаем точку $(1/3,1/\sqrt{3},1/\sqrt[3]{3})$ со значением $\lambda=1/9$.
1) А стоит ли рассматривать значение $\lambda=0$? Ведь тогда условие пропадает.
Далее, когда я брал вторые частные производные, последовательность знаков угловых миноров в матрице Якоби получилась такая: $ 0 - +$, поэтому я решил что у функции $L $ нет экстремума, однако в задачнике Демидовича написано следующее:
Вопрос о существовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала $d^2L(P_0)$ в стационарной точке $P_0$ фунции $L(P)$ при условии, что переменные $dx_1, \cdots , dx_n$ связаны соотношениями
$\sum_{j=0}^n\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j} dx_j =0 (i=1,\cdots,m)$ (тут предполагается что условий не одно, а m).
2) Правильно ли я понимаю, что в моем случае нужно записать $dx+2ydy+3z^2dz=0$, выразить $dx$ например, подставить в $d^2L$, составлять матрицу из частных производных уже по $z$ и $y$ и смотреть, является ли она положительно или отрицательно определенной?

[ИСН]

Абоминация какая-то. Зачем столько букв? Тупо берём за новые переменные $x,\,y^2,\;\text{и}\;z^3$

[teddybrooks]

ИСН, спасибо, а так можно? Дифференциал будет совсем другой.

[ИСН]

В условии задачи нет слова "дифференциал". Я предлагаю заменить задачу на другую, эквивалентную ей, но которую, возможно, легче решать. Каким методом решать - Ваше дело. Хоть дифференциалами, хоть марсианскими голубошёрстными котиками. Сам процесс решения, вероятно, будет отличаться от Вашего первоначального - разумеется, ведь это другая задача.

[Legioner93]

ИСН в сообщении #730338 писал(а):

Абоминация какая-то. Зачем столько букв? Тупо берём за новые переменные $x,\,y^2,\;\text{и}\;z^3$

Ещё менее абоминированно будет взять за новые переменные только $u=x$ и $v=y^2$, а $z^3$ выразить.