Параметр.

[mr.tumkan]

Немного подвис на задаче:
При каких $a$ неравенство $\left|\dfrac{x^2-x-2a}{x-a}-1\right|\leqslant 2$ имеет единственное решение на $[1;3]$?

$-2\leqslant \dfrac{x^2-x-2a}{x-a}-1\leqslant 2\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; -1\leqslant \dfrac{x^2-x-2a}{x-a}\leqslant 3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -1\leqslant \dfrac{x^2-(x-a)-3a}{x-a}\leqslant 3\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; 0\leqslant \dfrac{x^2-3a}{x-a}\leqslant 4$

Можно выписать в виде эквивалентной системы:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-3a}{x-a}\leqslant 4\\ \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0\\ \end{matrix}\right. \;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-3a-4(x-a)}{x-a}\leqslant 0\\ \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0\end{matrix}\right.\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-4x+a}{x-a}\leqslant 0\\ \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0\\ \end{matrix}\right. $

Дальше есть идея заменить $t=x-a$. Это немного упростит, но дальше не вижу. Можете подсказать, есть ошибки до этого?

[arqady]

Сначала поймите, что произойдёт, если $a<0$ или дискриминант $x^2-4x+a$ меньше нуля.
Затем решайте оба неравенства методом интервалов и получите условие на то, что требуется.

[mihailm]

Подсказка: при любом (почти) $a$, тройка решение

[mr.tumkan]

Спасибо. Если $a<0$, то оба числителя положительны, а значит знаменатель первой дроби должен быть меньше нуля, а второй дроби больше нуля, а так как они одинаковые, то нет решений.
При $0<a<4$ будет первый числитель положителен, а в второй числитель иметь два корня $x=\pm\sqrt{a}$

При $a>4$ о, ужас, оба знаменателя раскладываются на множители. Вообще, там еще будут подслучаи, когда $a$ по разные стороны от $1$. Может есть способ проще?

[nnosipov]

mr.tumkan в сообщении #730290 писал(а):

Может есть способ проще?

Тупо рисуйте параболы в плоскости $(x,a)$.